05年数据结构试卷

问题1：

一个算法必须具备以下所有条件，除了：
(A) 正确性
(B) 由具体步骤组成
(C) 无歧义
(D) 无限

答案：
(D) 无限

解释：
一个有效的算法必须具备以下特征：

  • 正确性 (A)：算法必须能够正确地解决问题。
  • 由具体步骤组成 (B)：算法需要有明确的、具体的步骤。
  • 无歧义 (C)：算法中的每个步骤都必须清晰无歧义，避免任何理解上的模糊。
  • 无限 (D) 不是一个必要条件。算法应该是有限的，即有一个结束的步骤。无限的算法不属于有效的算法。

问题2：

选择一个最适合的增长率，来表示随着 n 增大，最有效的算法的性能：
(A) 20n
(B) 5log n
(C) 2n
(D) 8n²

答案：
(B) 5log n

解释：
算法的效率通常通过其时间复杂度的增长率来衡量。随着 n 增大：

  • 20n 表示线性增长，随着 n 的增大，算法的效率较差。
  • 5log n 表示对数增长，增长较慢，适合大规模数据集。
  • 2n 表示指数增长，随着 n 增大，效率急剧下降。
  • 8n² 表示平方增长，虽然比指数增长慢，但仍比对数增长慢。

因此，对数增长 (B) 是最适合的增长率，它通常表示效率较高的算法，尤其是在 n 很大的情况下。

问题3：

下列四个陈述中，哪一个是不正确的？
(A) 非空完全二叉树中的叶子节点数比内部节点数多一个。
(B) 簇是文件分配的最小单位，因此所有文件的大小是簇大小的倍数。
(C) 我算法的最佳情况是 n=1，因为这是最快的。
(D) 形状不同的4节点二叉树的数量是14。

答案：
(C) 我算法的最佳情况是 n=1，因为这是最快的。

解释：

  • (A) 非空完全二叉树中，叶子节点数与内部节点数的关系是：叶子节点数总是比内部节点数多一个。这个说法是正确的。
  • (B) 簇是文件存储的最小单位，所有文件的大小确实是簇大小的倍数。因此，这个说法也是正确的。
  • (C) 虽然 n=1 的情况下算法可能是最快的，但这并不意味着这是“最佳情况”。最佳情况是指在特定的输入情况下，算法表现最好的情况，而不仅仅是输入大小为 1 时。这个说法不完全正确。
  • (D) 4节点的二叉树有14种不同的形态。这个说法是正确的，通过计算不同形态的二叉树的数量得到的结果是14。

因此，(C) 是不正确的。

问题4：

减少磁盘程序所需时间的最有效方法是：
(A) 改善基本操作。
(B) 最小化磁盘访问次数。
(C) 消除递归调用。
(D) 减少主内存的使用。

答案：
(B) 最小化磁盘访问次数。

解释：
磁盘程序的性能通常受磁盘访问次数的影响。磁盘操作比内存操作慢得多，因此：

  • (A) 改善基本操作虽然有助于提高算法效率，但磁盘访问是瓶颈，因此减少磁盘访问更为关键。
  • (B) 最小化磁盘访问次数是提高磁盘性能的最有效方法。减少每次读取/写入磁盘所需的操作可以显著提高整体程序性能。
  • (C) 消除递归调用有时有助于优化程序，但对于磁盘操作来说，最主要的问题是减少磁盘访问次数。
  • (D) 减少主内存的使用可能会减少内存占用，但对于磁盘操作的优化没有直接关系，主内存和磁盘访问是不同的瓶颈。

因此，最有效的方式是 (B) 最小化磁盘访问次数。

问题5：

在哈希函数中，碰撞是指（ ）
(A) 两个元素具有相同的序列号。
(B) 不同的键被映射到哈希表的相同地址。
(C) 两条记录具有相同的键。
(D) 数据元素过多。

答案：
(B) 不同的键被映射到哈希表的相同地址。

解释：
哈希函数中的“碰撞”指的是两个或多个不同的键被映射到哈希表的同一位置。这是哈希表中常见的一个问题，因为哈希函数的输出空间有限，而输入键的空间较大。碰撞发生时，需要采取措施（如链表法或开放地址法）来解决。

  • (A) 提到序列号与哈希碰撞无关，序列号是指元素在某种顺序中的位置。
  • (C) 两条记录具有相同的键不一定是哈希碰撞，这个描述过于简化。
  • (D) 数据元素过多可能导致哈希表性能下降，但与碰撞的定义无关。

因此，(B) 是正确答案。

问题6：

以下哪种情况适合使用链表结构来实现列表 L？
(A) 需要频繁修改元素的值。
(B) 需要频繁插入或删除元素。
(C) 列表中有大量元素。
(D) 列表中元素的结构复杂。

答案：
(B) 需要频繁插入或删除元素。

解释：
链表是一种动态数据结构，适合需要频繁插入和删除操作的情况，因为在链表中插入或删除元素时，不需要移动其他元素，仅仅调整指针即可。相比于数组，链表的插入和删除操作更加高效。

  • (A) 修改元素的值在链表和数组中都能高效地进行，因此这个不是链表特别适用的场景。
  • (C) 当列表中有大量元素时，数组结构可能更合适，因为链表在内存中分散存储，访问时的性能可能不如数组。
  • (D) 元素结构复杂时，链表的优势主要体现在灵活的内存分配和动态性上，但并不是决定是否使用链表的唯一因素。

因此，(B) 是正确答案。

问题7：

当一个指针占用2字节，一个数据元素占用6字节时，当数组的使用率为以下哪种情况时，链表实现比基于数组的列表实现占用更少的空间？
(A) 少于1/3满。
(B) 少于2/3满。
(C) 少于一半满。
(D) 少于3/4满。

答案：
(D) 少于3/4满。

见前试卷。

问题8：

以下哪个陈述是正确的？
(A) 在二叉搜索树（BST）中，任何节点的左子节点小于右子节点，而在堆（Heap）中，任何节点的左子节点小于右子节点。
(B) 在二叉搜索树（BST）中，任何节点的左子节点可能小于或大于右子节点，而在堆（Heap）中，任何节点的左子节点必须小于右子节点。
(C) 在二叉搜索树（BST）中，任何节点的左子节点小于右子节点，而在堆（Heap）中，任何节点的左子节点可能小于或大于右子节点。
(D) 在二叉搜索树（BST）和堆（Heap）中，任何节点的左子节点可能小于或大于右子节点。

答案：
(C) 在二叉搜索树（BST）中，任何节点的左子节点小于右子节点，而在堆（Heap）中，任何节点的左子节点可能小于或大于右子节点。

解释：

  • (A) 在堆中，左子节点并不总是小于右子节点，堆的性质是“堆序”，它要求每个父节点的值必须大于或小于其子节点，但并没有规定左右子节点的具体顺序。
  • (B) 在堆中，左右子节点的顺序并不由堆的定义所决定，堆的性质只要求父节点的值比子节点大（大顶堆）或小（小顶堆），而不要求左子节点小于右子节点。
  • (C) 二叉搜索树（BST）的定义是，对于每个节点，其左子树的所有节点值都小于该节点的值，右子树的所有节点值都大于该节点的值。堆则要求父节点与子节点之间满足某种顺序，但不要求左右子节点的顺序。
  • (D) 在堆中，左右子节点的顺序不受限制，所以这个陈述是不对的。

因此，(C) 是正确答案。

问题9：

快速排序的最坏时间复杂度是（ ）
(A) O(n)
(B) O(log₂ n)
(C) O(n log₂ n)
(D) O(n²)

答案：
(D) O(n²)

解释：

  • 快速排序（Quicksort）是一种分治算法。在最坏的情况下（例如每次选择的基准都是最小或最大元素），快速排序的时间复杂度为 O(n²)。这种情况通常发生在输入数组已经是有序或几乎有序的情况下。
  • 平均情况下，快速排序的时间复杂度是 O(n log₂ n)，但最坏情况的时间复杂度为 O(n²)。

因此，(D) 是正确答案。

问题10：

下列序列中，哪个是堆？（ ）
(A) 16, 72, 31, 23, 94, 53
(B) 94, 23, 31, 72, 16, 53
(C) 16, 53, 23, 94, 31, 72
(D) 16, 23, 53, 31, 94, 72

答案是 (D)，因为堆是一种完全二叉树，且满足堆的性质：

  • 最大堆：父节点的值大于或等于其子节点的值。
  • 最小堆：父节点的值小于或等于其子节点的值。

我们来看选项 (D) 16, 23, 53, 31, 94, 72 是否符合堆的性质。

这个序列表示的是完全二叉树的层次遍历结果：

1
2
3
4
5
      16
    /    \
  23      53
 /  \    /  \
31   94 72

检查每个父节点和子节点的关系：

  • 16 是根节点，它有两个子节点 23 和 53。16 < 23 和 16 < 53，符合最小堆的性质。
  • 23 有子节点 31 和 94。23 < 31 和 23 < 94，也符合最小堆的性质。
  • 53 有子节点 72，53 < 72，也符合最小堆的性质。

因此，选项 (D) 满足最小堆的性质，答案正确。

其他选项不符合堆的性质，因此不是堆。

问题11：

在以下排序算法中，哪一个最适合用来找出 1000 个无序元素中的前 10 个最大元素？（ ）
(A) 插入排序
(B) 堆排序
(C) 快速排序
(D) 希尔排序

答案：
(B) 堆排序

解释：

  • 堆排序（Heap Sort）是一种基于堆数据结构的排序算法。堆排序特别适合于寻找最值（最大值或最小值）。通过构建一个最大堆或最小堆，可以快速地找到前 k 个最大或最小元素。对于这个问题，堆排序能够高效地找到前 10 个最大元素。
    • 插入排序（Insert Sort）时间复杂度为 O(n²)，当数据量大时效率较低。
    • 快速排序（Quicksort）虽然在平均情况下表现较好，但在寻找前 k 个最大元素时，通常会花费额外的时间进行完全排序。
    • 希尔排序（Shell Sort）是一种改进的插入排序，效率较低，不适合用于找最大元素。

因此，(B) 堆排序是最适合的选择。

问题 12：替换选择排序的功能是什么？

替换选择排序（Replacement Selection Sort）是一种外部排序算法，其主要功能是通过不断选择最大或最小元素并替换来生成初始的合并文件。具体来说，它用于生成排序文件，用于后续的合并操作。

答案： (B) 生成初始合并文件

问题 13：树索引方法的目的是为了克服哈希中的什么缺陷？

哈希索引方法虽然查找效率高，但在处理范围查询时表现不佳。树索引（如B树）能够解决这个问题，因为树结构可以支持高效的范围查询操作，而哈希表不支持范围查询。

答案： (A) 无法处理范围查询

问题 14：假设有八条记录，键值从 A 到 H，并且它们最初按字母顺序排列。现在，考虑以下访问模式：F D F G E G F A D F G E。如果使用“移动到前端”启发式方法组织列表，那么最终的列表将是？

“移动到前端”启发式方法的规则是：每次访问一个元素时，将该元素移到列表的前面。我们根据题目给出的访问模式来模拟这个过程。

访问顺序：

  1. F：列表变为 F A B C D E F G H
  2. D：列表变为 D F A B C E G H
  3. F：列表变为 F D A B C E G H
  4. G：列表变为 G F D A B C E H
  5. E：列表变为 E G F D A B C H
  6. G：列表变为 G E F D A B C H
  7. F：列表变为 F G E D A B C H
  8. A：列表变为 A F G E D B C H
  9. D：列表变为 D A F G E B C H
  10. F：列表变为 F D A G E B C H
  11. G：列表变为 G F D A E B C H
  12. E：列表变为 E G F D A B C H

最终的列表是：E G F D A B C H

答案： (B) E G F D A B C H

之后的题又是一样的快排啊，哈夫曼树，构造树，硬盘读取啊，没必要看了。

图论

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Adjacency Matrix Representation (a)

  • The adjacency matrix \(A\) of a graph with \(n\) vertices is an \(n\times n\) matrix, where \(A_{ij}\) is the weight of the edge from vertex \(i\) to vertex \(j\), or \(0\) if there is no edge.
  • For the given graph with vertices \(1, 2, 3, 4, 5, 6\), the adjacency matrix is: $ A=$

The adjacency list

The adjacency list representation of a graph is a way to represent the graph where each vertex has a list of its neighboring vertices along with the weights of the edges to those neighbors.

Here is the adjacency list representation for the given graph with vertices \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) based on the provided adjacency matrix:

  • Vertex 1:
    • Neighbor: 2, Weight: 10
    • Neighbor: 4, Weight: 20
    • Neighbor: 6, Weight: 2
  • Vertex 2:
    • Neighbor: 1, Weight: 10
    • Neighbor: 3, Weight: 3
    • Neighbor: 4, Weight: 5
  • Vertex 3:
    • Neighbor: 2, Weight: 3
    • Neighbor: 5, Weight: 15
  • Vertex 4:
    • Neighbor: 1, Weight: 20
    • Neighbor: 2, Weight: 5
    • Neighbor: 5, Weight: 11
    • Neighbor: 6, Weight: 10
  • Vertex 5:
    • Neighbor: 3, Weight: 15
    • Neighbor: 4, Weight: 11
    • Neighbor: 6, Weight: 3
  • Vertex 6:
    • Neighbor: 1, Weight: 2
    • Neighbor: 4, Weight: 10
    • Neighbor: 5, Weight: 3

要确定对于给定的图哪种表示方式占用更多空间，我们需要分别计算邻接矩阵表示法和邻接表表示法所需的空间。

邻接矩阵表示法

一个具有\(n\)个顶点的图的邻接矩阵\(A\)是一个\(n×n\)的矩阵。在此例中，\(n = 6\)。

邻接矩阵中的每个元素要么存储边的权重（如果对应顶点之间存在边），要么存储\(0\)（如果不存在边）。由于一条边的权重需要\(2\)字节来存储，所以矩阵的每个元素都需要\(2\)字节的存储空间。

这个\(6×6\)邻接矩阵中的元素总数是\(n^2 = 6^2 = 36\)个元素。

存储邻接矩阵所需的空间为\(36×2\)字节（用于存储边的权重或\(0\)）$ = 72$字节。

邻接表表示法

在邻接表表示法中，对于每个顶点，我们都有一个其相邻顶点的列表，以及到这些相邻顶点的边的权重。

这里有\(n = 6\)个顶点。对于每个顶点，我们需要存储顶点标签（\(2\)字节）。所以，用于存储顶点信息（标签和指针）所需的空间是\((2)×6\)字节$ = 12$字节。

现在，让我们来考虑邻接表本身。为了算出所有邻接表中的条目总数，我们需要统计邻接矩阵中非零元素的数量。

统计给定邻接矩阵中的非零元素数量：

  • 顶点\(1\)有\(3\)个非零元素；
  • 顶点\(2\)有\(3\)个非零元素；
  • 顶点\(3\)有\(2\)个非零元素；
  • 顶点\(4\)有\(4\)个非零元素；
  • 顶点\(5\)有\(3\)个非零元素；
  • 顶点\(6\)有\(3\)个非零元素。

所有邻接表中的条目总数（即非零元素的数量）是\(3 + 3 + 2 + 4 + 3 + 3 = 18\)个。

邻接表中的每个条目由一个指向相邻顶点的指针（\(4\)字节）和边的权重（\(2\)字节）组成，所以每个条目需要\(4 + 2 = 6\)字节。

存储邻接表所需的空间是\(18×6\)字节$ = 108$字节。

邻接表表示法所需的总空间是\(12 + 108\)字节$ = 120$字节。

因为\(120\)字节（邻接表表示法）\(> 84\)字节（邻接矩阵表示法），所以对于这个图来说，邻接表表示法需要更多的空间。

Here is the step-by-step solution to find the DFS (Depth-First Search) tree and BFS (Breadth-First Search) tree for the given graph starting from Vertex 1:

Depth-First Search (DFS) Tree:

  1. Initialization:
    • Mark all vertices as unvisited.
    • Set the current vertex as Vertex 1.
  2. DFS Algorithm Steps:

    • Visit Vertex 1. Mark it as visited.

    • Explore its unvisited neighbors in order. Let's look at the adjacency matrix to find the neighbors of Vertex 1. From the given adjacency matrix:

      • Vertex 1 has neighbors Vertex 2 with weight 10, Vertex 4 with weight 20, and Vertex 6 with weight 2.

    • We will choose one of the unvisited neighbors to continue the DFS. Let's choose Vertex 2 first.

    • Visit Vertex 2. Mark it as visited. Now, look at the neighbors of Vertex 2 from the adjacency matrix:

      • Vertex 2 has neighbors Vertex 1 (already visited), Vertex 3 with weight 3, and Vertex 4 with weight 5.

    • Choose an unvisited neighbor of Vertex 2, say Vertex 3.

    • Visit Vertex 3. Mark it as visited. The neighbors of Vertex 3 from the adjacency matrix are:

      • Vertex 3 has neighbors Vertex 2 (already visited) and Vertex 5 with weight 15.

    • Choose Vertex 5.

    • Visit Vertex 5. Mark it as visited. The neighbors of Vertex 5 from the adjacency matrix are:

      • Vertex 5 has neighbors Vertex 3 (already visited), Vertex 4 with weight 11, and Vertex 6 with weight 3.

    • Choose Vertex 4 (even though it has been reached from other paths before, but in DFS we continue exploring as long as it's unvisited from the current path).

    • Visit Vertex 4. Mark it as visited. The neighbors of Vertex 4 from the adjacency matrix are:

      • Vertex 4 has neighbors Vertex 1 (already visited), Vertex 2 (already visited), Vertex 5 (already visited), and Vertex 6 with weight 10.

    • Choose Vertex 6.

    • Visit Vertex 6. Mark it as visited. All vertices have now been visited.

  3. Constructing the DFS Tree:
    • The root of the DFS tree is Vertex 1.
    • The edges in the DFS tree are formed by the order in which we visited the vertices. So, the DFS tree has the following edges:
      • From Vertex 1 to Vertex 2
      • From Vertex 2 to Vertex 3
      • From Vertex 3 to Vertex 5
      • From Vertex 5 to Vertex 4
      • From Vertex 4 to Vertex 6

Breadth-First Search (BFS) Tree:

  1. Initialization:
    • Mark all vertices as unvisited.
    • Create a queue and enqueue Vertex 1.
  2. BFS Algorithm Steps:

    • Dequeue Vertex 1. Mark it as visited.

    • Enqueue all its unvisited neighbors. From the adjacency matrix, the neighbors of Vertex 1 are Vertex 2 with weight 10, Vertex 4 with weight 20, and Vertex 6 with weight 2. So, enqueue Vertex 2, Vertex 4, and Vertex 6.

    • Dequeue Vertex 2. Mark it as visited. Enqueue its unvisited neighbors. The neighbors of Vertex 2 from the adjacency matrix are Vertex 3 with weight 3 and Vertex 4 with weight 5. Since Vertex 4 is already in the queue (from Vertex 1's neighbors), we only enqueue Vertex 3.

    • Dequeue Vertex 4. Mark it as visited. Enqueue its unvisited neighbors. The neighbors of Vertex 4 from the adjacency matrix are Vertex 5 with weight 11. So, enqueue Vertex 5.

    • Dequeue Vertex 6. Mark it as visited. Its neighbors have already been processed from other vertices.

    • Dequeue Vertex 3. Mark it as visited. Its neighbors have already been processed from other vertices.

    • Dequeue Vertex 5. Mark it as visited. All vertices have now been visited.

  3. Constructing the BFS Tree:
    • The root of the BFS tree is Vertex 1.
    • The edges in the BFS tree are formed by the order in which the vertices were enqueued and dequeued. So, the BFS tree has the following edges:
      • From Vertex 1 to Vertex 2
      • From Vertex 1 to Vertex 4
      • From Vertex 1 to Vertex 6
      • From Vertex 2 to Vertex 3
      • From Vertex 4 to Vertex 5