华南理工大学软件学院离散数学考试
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选择题
问题1：
(1) 哪个是命题？
命题是一个陈述句，它要么是真，要么是假，但不能同时为真和假。
选项：
A) 我在说谎。
B) 乔治·布尔有多聪明啊！
C) $ 5 < 3 $。
D) $ (x y) z y(x z y) $。
解释：
- A) “我在说谎”是一个悖论，既不是真也不是假。
- B)
“乔治·布尔有多聪明啊！”是感叹句，不是陈述句。
- C) $ 5 < 3 $
是一个明确的陈述句，且为假，因此是一个有效的命题。
- D) $ (x y) z y(x z y) $ 中的变量没有上下文（例如，未为 $ x, y, z $ 赋值），因此不是命题。
问题2：
(2) 下列哪个等价于 $ (a b) (a b c) (b c) $？
选项：
A) $ b (a c) $。
B) $ (a b) (a b) $。
C) $ (a b) (a b c) (b c) $。
D) $ (b c) (a c) $。
答案：A) $ b (a c) $。
解释：
- 简化 $ (a b) (a b c) (b c) $：
- $ (a b) (a b c) = a b $（因为 $ a b c $ 是 $ a b $ 的子集）。
- $ (a b) (b c) = b (a c) $（根据分配律）。
- $ (a b) (a b c) = a b $（因为 $ a b c $ 是 $ a b $ 的子集）。
- 因此，表达式等价于 $ b (a c) $。
问题3：
(3) $ (x)(y)(P(x) Q(y)) ? $
选项：
A) $ (x)P(x) (y)Q(y) $。
B) $ (x)P(x) (y)Q(y) $。
C) $ (x)P(x) (y)Q(y) $。
D) $ (x)P(x) (y)Q(y) $。
步骤一：分析原式
原式是 $ (x)(y)(P(x) Q(y)) $，首先使用逻辑蕴含的等价式 $ P(x) Q(y) P(x) Q(y) $，得到：
$ (x)(y)(P(x) Q(y)) (x)(y)(P(x) Q(y)) $
步骤二：进一步变换
接下来，考虑如何对 $ (x)(y)(P(x) Q(y)) $ 进行变换。由于 $ P(x) $ 与 $ y $ 无关，我们可以将 $ y $ 操作符从 $ Q(y) $ 的量词上"分离"出来。根据量词的扩展和收缩规则，我们有：
$ (x)(y)(P(x) Q(y)) (x)P(x) (y)Q(y) $
步骤三：处理全称量词
接下来，我们对 $ (x)P(x) $ 进行转换。根据量词否定的等价式：
$ (x)P(x) (x)P(x) $
所以 $ (x)P(x) (x)P(x) $，因此：
$ (x)P(x) (y)Q(y) (x)P(x) (y)Q(y) $
步骤四：最终简化
最后，根据 $ A B A B $ 的等价式，我们得到了：
$ (x)P(x) (y)Q(y) (x)P(x) (y)Q(y) $
因此，原式 $ (x)(y)(P(x) Q(y)) $ 等价于 $ (x)P(x) (y)Q(y) $，所以正确答案是 D。
通过一步一步的等价变换，我们得到了最终的结论，即：
$ (x)(y)(P(x) Q(y)) (x)P(x) (y)Q(y) $
所以 选项 D 是正确答案。
问题 4:
Which function is not onto?
我们给定了四个函数，它们的定义域都是 $ $（即整数对），值域是 $
$。我们需要判断哪些函数不是 onto（即不是满射）。
满射的定义是：对于每个 $ y $，存在一个 $ (m, n) $，使得 $ f(m, n) = y
$。
选项分析：
- $ f(m, n) = m + n $
这个函数的值域是所有整数，因为对于任意的 $ y $，可以找到一对整数 $ (m, n) $，使得 $ m + n = y $。例如，如果我们选择 $ m = y $ 和 $ n = 0 $，就能得到 $ f(m, n) = y $，因此这个函数是满射。
- $ f(m, n) = m^2 + n^2 $
这个函数的值域只包含非负整数，因为 $ m^2 + n^2 $，对于任何负整数 $ y $，都不存在整数对 $ (m, n) $ 使得 $ f(m, n) = y $（因为平方和是非负的）。因此，这个函数不是满射。
- $ f(m, n) = m $
这个函数的值域是所有整数，因为对于任意的 $ y $，可以选择 $ m = y $ 和任意 $ n $，就能得到 $ f(m, n) = y $。因此这个函数是满射。
- $ f(m, n) = m - n $
这个函数的值域是所有整数，因为对于任意的 $ y $，可以选择 $ m = y + n $，使得 $ f(m, n) = y $。因此这个函数是满射。
答案：
B) $ f(m, n) = m^2 + n^2 $
因为它的值域只包含非负整数，不能达到所有整数，所以它不是满射。
问题 5:
Suppose a relation $ R $ on the set $ A = { 1, 2, 3 } $, which property does $ R $ have?
对于给定的集合 $ A = { 1, 2, 3 } $，我们需要判断关系 $ R $ 具备哪种性质。四个选项分别是：
- Reflexive（自反）
- Reflexive（自反）
- Antisymmetric（反对称）
- Antisymmetric（反对称）
- Transitive（传递）
- Transitive（传递）
- Irreflexive（非自反）
定义：
- 自反性 (Reflexive): 对于所有的 $ a A $，都必须有 $ (a, a) R $。
- 反对称性 (Antisymmetric): 如果 $ (a, b) R $ 且 $ (b, a) R $，那么必须有 $ a = b $。
- 传递性 (Transitive): 如果 $ (a, b) R $ 且 $ (b, c) R $，那么必须有 $ (a, c) R $。
- 非自反性 (Irreflexive): 对于所有的 $ a A $，都没有 $ (a, a) R $。
满足非自反性，因此选择D。
问题 6:
$ A B $ 之间的等价关系
题目给定了 $ A B
$，问其等价关系是什么。我们需要判断与这个条件等价的式子。
选项分析：
- $ A B = B $
- 如果 $ A B $，那么 $ A B = B $，因为 $ A $ 的所有元素都在 $ B $ 中，所以 $ A B $ 的结果就是 $ B $。这个式子是正确的。
- $ A B = A $
- 如果 $ A B $，那么 $ A $ 中的所有元素也都在 $ B $ 中，所以 $ A B = A $ 是成立的。这个式子也是正确的。
- $ (B - A) A B $
- 这个式子是正确的，因为 $ B - A $ 表示在 $ B $ 中但不在 $ A $ 中的元素，$ A (B - A) = B $，所以这个式子也成立。但是这个选项并不能推出来原始式子。
答案：
D。
问题 7:
Given $ A C = B C $, which answer is right?
题目给定了 $ A C = B C
$，问以下哪个选项是正确的。我们需要根据这个条件推理出正确答案。
选项分析：
- $ A = B $
- $ A C = B C $ 仅仅表示 $ A $ 和 $ B $ 在集合 $ C $ 中的交集相同，这并不能直接得出 $ A = B \(。例如，\) A $ 和 $ B $ 可以在 $ C $ 之外有不同的元素，但它们在 $ C $ 中的部分是相同的。所以这个选项不成立。
- $ A B $
- 由于 $ A C = B C $ 并不意味着 $ A = B $，所以我们不能断定 $ A B $ 也是正确的。这个选项不能直接推导出来。
- If $ A - C = B - C $, then $ A = B $
- 如果 $ A - C = B - C $（即 $ A $ 和 $ B $ 在 $ C $ 以外的部分也相同），再加上 $ A C = B C $，那么可以推断 $ A = B $。因为 $ A $ 和 $ B $ 在 $ C $ 中和 $ C $ 外的部分都相同。所以这个选项是正确的。
- If $ C = U $ (the universal set), then $ A B $
- 如果 $ C = U $（即全集），那么 $ A C = B C $ 就是 $ A = B $ 的条件。所以这个选项是错误的。
答案：
C) If $ A - C = B - C $, then $ A = B $
这是正确的答案，因为在 $ A C = B C $ 的基础上，如果 $ A - C = B - C
$，可以推断出 $ A = B $。
问题 8:
Which statement is false?
题目问的是，哪一个陈述是错误的。我们逐个分析选项：
选项分析：
- Given an incidence matrix, we can determine the corresponding graph.
- 正确。给定一个关联矩阵，我们确实可以确定对应的图，因为关联矩阵清楚地记录了顶点和边之间的关系。每行表示一个顶点，每列表示一条边，矩阵中的元素表明某个顶点是否与某条边相连接。
- The graph isomorphism is an equivalence relation.
- 正确。图同构是一个等价关系。图同构满足反射性、对称性和传递性，因而是一个等价关系。
- $ G = (V, E) $ is a bipartite graph with bipartition $ (V_1, V_2) $. If $ |V_1| > |V_2| $, then $ {u V_1} (u) > {u V_2} (u) $.
- 错误。在一个二分图中，$ V_1 $ 和 $ V_2 $ 是顶点集合的二分，它们之间的所有边的度数和是相等的，因为每条边都连接一个 $ V_1 $ 中的顶点和一个 $ V_2 $ 中的顶点。因此，两个集合的度数总和应该是相等的。
- \(W_{2013}\) has 4026 edges and exactly 2014 vertices.
轮图（Wheel Graph）的结构和性质：
- 顶点数：轮图 \(W_n\) 由一个中心顶点和 \(n\) 个围绕中心顶点排列的顶点构成。因此，轮图的顶点数为 \(n + 1\)。
- 边数：轮图中，中心顶点与每个环上的顶点都有边相连，所以有 \(n\) 条从中心顶点到环上顶点的边。另外，环上顶点之间也有边，形成一个循环，这部分有 \(n\) 条边。综上，轮图的边数为 \(2n\)。
对于 \(W_{2013}\)：
- 顶点数：\(2013 + 1 = 2014\) 个顶点。
- 边数：\(2 \times 2013 = 4026\) 条边。
所以，选项C是错误的。
答案：
- $ G = (V, E) $ is a bipartite graph with bipartition $ (V_1, V_2) $. If $ |V_1| > |V_2| $, then $ {u V_1} (u) > {u V_2} (u) $
问题 9:
A tree $ T $ has three 3-degree vertices, two 2-degree vertices, and all the other vertices are leaves. How many leaves are there in $ T $?
题目给定了树 $ T $ 中的度数分布，要求我们计算树中的叶子数目。
树的性质：
- 树的顶点数和边数之间的关系为：$ |E| = |V| - 1 $。
- 度数和定理：树中所有顶点的度数之和等于边数的两倍。
已知条件：
- 树有三个 3 度的顶点，两个 2 度的顶点。
- 所有其他的顶点是叶子，叶子的度数是 1。
计算过程：
总的度数和：
- 3 个 3 度的顶点，总度数为：$ 3 = 9 $。
- 2 个 2 度的顶点，总度数为：$ 2 = 4 $。
- 设树中有 $ n $ 个叶子（度数为 1 的顶点），那么叶子的总度数是：$ n = n $。
度数和公式：
- 根据度数和定理，树的总度数等于边数的两倍。因为树有 $ n + 5 $ 个顶点（$ 3 + 2 + n $），边数为 $ (n + 5) - 1 = n + 4 \(，所以度数和为：\) 2(n + 4) = 2n + 8 $。
度数和方程：
- 总度数 = $ 9 + 4 + n = 13 + n $。
- 总度数 = $ 2n + 8 $。
设 $ 13 + n = 2n + 8 $，解得 $ n = 5 $。
答案：
C) 5
树 $ T $ 中有 5 个叶子。
问题10：
要解决这个问题，我们首先需要了解什么是 欧拉回路 (Eulerian Circuit) 和 哈密尔顿回路 (Hamiltonian Circuit)，然后检查每个选项中的图是否同时具有这两个回路。
- 欧拉回路 (Eulerian Circuit)：
- 欧拉回路是一个包含图中所有边且仅经过一次的闭合路径。一个图拥有欧拉回路的充要条件是：每个顶点的度数必须是偶数，并且图是连通的。
- 哈密尔顿回路 (Hamiltonian Circuit)：
- 哈密尔顿回路是一个包含图中所有顶点且仅经过一次的闭合路径。哈密尔顿回路没有简单的必要条件，它更复杂，通常依赖于图的具体结构。
- 检查选项中的图：
- A) $ K_9 $（完全图，9个顶点）:
- $ K_9 $ 是一个完全图，其中每个顶点的度数是 \(9 - 1 = 8\)，即每个顶点的度数都是偶数，因此它拥有欧拉回路。
- 完全图 $ K_n $ 总是有哈密尔顿回路，特别是对于 $ K_9 $ 来说，哈密尔顿回路也是存在的。
- 因此，$ K_9 $ 同时拥有欧拉回路和哈密尔顿回路。
- B) $ K_{10} $（完全图，10个顶点）:
- $ K_{10} $ 的每个顶点的度数是 \(10 - 1 = 9\)，即每个顶点的度数是奇数，因此 不 具有欧拉回路。
- 然而，$ K_{10} $ 仍然有哈密尔顿回路（因为完全图 $ K_n $ 总是具有哈密尔顿回路）。
- 所以，$ K_{10} $ 不满足题目要求。
- C) $ K_{2,3}
$（二部图，2个顶点集分别包含2和3个顶点）:
- $ K_{2,3} $ 是一个二部图，度数分别为 \(2\) 和 \(3\)，每个顶点的度数不是偶数，因此它 不 具有欧拉回路。
- 对于哈密尔顿回路，$ K_{2,3} $ 也不具备，因为它不能在不重复的情况下访问所有顶点。
- 因此，$ K_{2,3} $ 不满足题目要求。
- D) $ K_{3,3} $（二部图，2个顶点集分别包含3个顶点）:
- $ K_{3,3} $ 是一个二部图，度数分别为 \(3\) 和 \(3\)，每个顶点的度数是奇数，因此它 不 具有欧拉回路。
- $ K_{3,3} $ 具有哈密尔顿回路，因为它是一个具有特定结构的二部图。
- 所以，$ K_{3,3} $ 也不满足题目要求。
只有 $ K_9 $ 同时具有欧拉回路和哈密尔顿回路，因此正确答案是 A) $ K_9 $。
填空题
问题1：
(1) C/C++/Java 中 "&&"（与操作）对应的命题逻辑符号
在 C/C++/Java 中，"&&" 是 逻辑与 操作符，用于连接两个条件。
对应的命题逻辑符号是：
$ P Q $
其中：
- $ P $ 和 $ Q $ 代表两个命题。
- 符号 $ $ 表示逻辑与（AND）操作，只有当 $ P $ 和 $ Q $ 都为真时，结果才为真。
问题2：
(2) 将句子翻译成逻辑符号
给定：
- $ P(x) $ 表示 "x 能说俄语"。
- $ Q(x) $ 表示 "x 会 C++ 计算机语言"。
- 讨论范围是学校中的所有学生。
我们需要表达以下句子：
“学校里有一个学生能说俄语，但不会 C++。”
这是一个 量词句，涉及 存在量词。句子表示至少有一个学生满足以下条件：
- 能说俄语。
- 不会 C++。
将这个句子用逻辑符号表示：
- 存在量词：句子中的“有一个学生”对应存在量词 $ x $，其中 $ x $ 是一个学生。
- 能说俄语：对应 $ P(x) $，表示学生 $ x $ 能说俄语。
- 不会 C++：对应 $ Q(x) $，表示学生 $ x $ 不会 C++（即 $ Q(x) $ 的否定）。
因此，逻辑表达式为：
$ x , (P(x) Q(x)) $
这句话的意思是：存在一个 $ x $（学生），使得 $ x $ 能说俄语并且 $ x $ 不会 C++。
解释：
- 存在量词 $ x $ 表示我们在谈论至少一个学生。
- 逻辑与 $ $ 连接了两个条件。
- 否定 $ Q(x) $ 表示该学生不会 C++。
问题3：
(3) 假设 $ f(x) = x^2 + 1 $ 和 $ g(x) = x + 2 $ 是从 $ $ 到 $ $ 的函数。求 $ f + g $。
为了求 $ f + g $，我们只需要将两个函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 相加：
$ f(x) + g(x) = (x^2 + 1) + (x + 2) $
现在，简化这个表达式：
$ f(x) + g(x) = x^2 + x + 3 $
因此，$ f + g = x^2 + x + 3 $。
问题4：
(4) 设 $ R $ 是集合 $ ^+ $ 上的关系 $ R = {(a, b) a b} $，求 $ R $ 的性质。
给定集合 $ ^+ $ 上的关系 $ R $，其中 $ a $ 整除 $ b $，我们需要确定这个关系的性质。
自反性： 关系是自反的，当且仅当每个元素与自己有关系。对于任何 $ a \(，\) a $ 必须整除自己，这始终成立。因此，关系 $ R $ 是自反的。
反对称性： 关系是反对称的，当且仅当对于任何 $ a $ 和 $ b $，如果 $ a $ 整除 $ b $ 且 $ b $ 整除 $ a $，那么 $ a = b $。在整除的情况下，如果 $ a $ 整除 $ b $ 且 $ b $ 整除 $ a $，那么 $ a = b $。因此，关系 $ R $ 是反对称的。
传递性： 关系是传递的，当且仅当对于任何 $ a \(、\) b $ 和 $ c $，如果 $ a $ 整除 $ b $ 且 $ b $ 整除 $ c $，那么 $ a $ 必须整除 $ c $。在整除的情况下，如果 $ a $ 整除 $ b $ 且 $ b $ 整除 $ c $，那么 $ a $ 整除 $ c $。因此，关系 $ R $ 是传递的。
因此，关系 $ R $ 是 自反的、反对称的 和 传递的，它是正整数集合上的 偏序关系。
问题5：
(5) 是否给定的有向图表示的关系是偏序关系？（是/否）
要判断一个关系是否是偏序关系，需要检查以下三个性质：
- 自反性（Reflexivity）：对于集合中的每个元素 $ a $，必须有 $ (a, a) $ 在关系中。
- 反对称性（Antisymmetry）：对于任何两个元素 $ a $ 和 $ b $，如果 $ (a, b) $ 和 $ (b, a) $ 都在关系中，那么 $ a = b $。
- 传递性（Transitivity）：对于任何三个元素 $ a \(、\) b $、和 $ c $，如果 $ (a, b) $ 和 $ (b, c) $ 在关系中，那么 $ (a, c) $ 必须也在关系中。
经过判定，满足。
问题6：
(6) 给出一个例子，说明一个关系是对称的且反对称的。
要找到一个既对称又反对称的关系，可以考虑一个特殊的情况。关系对称意味着如果 $ (a, b) $ 属于关系，那么 $ (b, a) $ 也必须属于关系；而反对称性要求如果 $ (a, b) $ 和 $ (b, a) $ 都在关系中，那么 $ a = b $。
一个简单的例子是：
集合： $ A = {1, 2} $
关系： $ R = {(1, 1), (2, 2)} $
这个关系是对称的，因为对每对 $ (a, b) $，我们都能找到 $ (b, a) $。而它也是反对称的，因为只有当 $ a = b $ 时，才能同时有 $ (a, b) $ 和 $ (b, a) $。
总结：
- 需要查看有向图的细节来判断是否是偏序关系（通过检查自反性、反对称性和传递性）。
- 例子：在集合 $ A = {1, 2} $ 上定义关系 $ R = {(1, 1), (2, 2)} $，这个关系是既对称又反对称的。
问题7：
(7) 如果一个图的顶点度数分别为 4, 3, 3, 2, 2，这个图有多少条边？
要找出图的边数，可以使用手摇定理，该定理表明：无向图中所有顶点的度数之和等于边数的两倍。
给定顶点的度数：4, 3, 3, 2, 和 2，我们可以计算度数之和：
$ = 4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 14 $
根据手摇定理：
$ = 2 $
因此，可以解出边数：
$ 14 = 2 $
$ = = 7 $
答案： 图有 7 条边。
问题8：
(8) 设 $ p $ 和 $ q $ 是命题：
- $ p $： "我本周买了彩票。"
- $ q $： "我在周五赢得了百万美元大奖。"
将命题 $ p q $ 转换为英文句子。
符号 $ p $ 表示“不是 p”，即“我没有在本周买彩票”。类似地，$ q $ 表示“不是 q”，即“我没有在周五赢得百万美元大奖”。
因此，命题 $ p q $ 表示：
“我没有在本周买彩票，并且我没有在周五赢得百万美元大奖。”
答案： “我没有在本周买彩票，并且我没有在周五赢得百万美元大奖。”
问题9：
(9) 给定以下集合：
- $ A - B = {1, 5, 7, 8} $
- $ B - A = {2, 10} $
- $ B A = {3, 6, 9} $
要求我们找出集合 $ A $ 的内容。
解析：
- $ A - B = {1, 5, 7, 8} $ 表示属于 $ A $ 但不属于 $ B $ 的元素。
- $ B - A = {2, 10} $ 表示属于 $ B $ 但不属于 $ A $ 的元素。
- $ B A = {3, 6, 9} $ 表示同时属于 $ A $ 和 $ B $ 的元素。
因此，集合 $ A $ 包含的元素是：
- 来自 $ A - B $ 的元素：$ {1, 5, 7, 8} $。
- 来自 $ B A $ 的元素：$ {3, 6, 9} $。
将它们合并，得到：
$ A = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} $
答案： $ A = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9} $
解答题
问题1：
证明或反驳：$ A (B - C) = (A B) - (A C) $
1. 理解运算：
- $ B - C $：表示集合 $ B $ 中去掉集合 $ C $ 中的元素，得到的是集合 $ B $ 中不属于集合 $ C $ 的元素，即 $ B - C = { x x B x C } $。
- $ A B $：表示集合 $ A $ 和 $ B $ 的交集，即 $ A B = { x x A x B } $。
- $ A C $：表示集合 $ A $ 和 $ C $ 的交集，即 $ A C = { x x A x C } $。
2. 左边：$ A (B - C) $
我们首先分析左边的表达式 $ A (B - C) $：
$ A (B - C) = A { x x B x C } $
也就是说，$ A (B - C) $ 由满足以下条件的元素组成：
$ x A x B x C $
即：
$ A (B - C) = { x x A x B x C } $
3. 右边：$ (A B) - (A C) $
接下来分析右边的表达式 $ (A B) - (A C) $：
$ (A B) - (A C) = { x x A B x A C } $
即，集合 $ (A B) - (A C) $ 包含所有满足以下条件的元素：
$ x A x B x C $
4. 比较两边：
从上面的分析可以看出，左边 $ A (B - C) $ 和右边 $ (A B) - (A C) $ 都包含所有满足以下条件的元素：
$ x A x B x C $
因此，左边和右边是完全相同的，即两边相等。
问题2：
给定关系 $ R $ 由矩阵表示：
$ R = \[\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}\]$
求表示 $ R^2 $ 的矩阵。
矩阵 $ R $ 的形式：
$ R = \[\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}\]$
计算 $ R^2 = R R $：
矩阵乘法的规则是将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元素相乘并求和。具体计算如下：
第一行，第一列： $ (0 ) + (1 ) + (0 ) = 0 $
第一行，第二列： $ (0 ) + (1 ) + (0 ) = 0 $
第一行，第三列： $ (0 ) + (1 ) + (0 ) = 1 $
第二行，第一列： $ (0 ) + (0 ) + (1 ) = 1 $
第二行，第二列： $ (0 ) + (0 ) + (1 ) = 1 $
第二行，第三列： $ (0 ) + (0 ) + (1 ) = 0 $
第三行，第一列： $ (1 ) + (1 ) + (0 ) = 0 $
第三行，第二列： $ (1 ) + (1 ) + (0 ) = 1 $
第三行，第三列： $ (1 ) + (1 ) + (0 ) = 1 $
得到 $ R^2 $ 的矩阵：
$ R^2 = \[\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\]$
问题3：
证明 \(\forall x P(x) \vee \forall x Q(x)\) 和 \(\forall x (P(x) \vee Q(x))\) 不是逻辑等价的。
公式1： \(\forall x P(x) \vee \forall x Q(x)\)
这个公式的意思是：对于所有 $ x $，要么 $ P(x) $ 对于所有的 $ x $ 成立，要么 $ Q(x) $ 对于所有的 $ x $ 成立。
- \(\forall x P(x)\) 表示对于所有 $ x \(，\) P(x) $ 成立。
- \(\forall x Q(x)\) 表示对于所有 $ x \(，\) Q(x) $ 成立。
- \(\forall x P(x) \vee \forall x Q(x)\) 表示“所有的 $ x $ 中，$ P(x) $ 都成立，或者所有的 $ x $ 中，$ Q(x) $ 都成立”。
公式2： \(\forall x (P(x) \vee Q(x))\)
这个公式的意思是：对于每个 $ x \(，\) P(x) $ 或者 $ Q(x) $ 至少有一个成立。
- \(\forall x (P(x) \vee Q(x))\) 表示对于每个 $ x $，要么 $ P(x) $ 成立，要么 $ Q(x) $ 成立（或者两者都成立）。
反例：
为了证明这两个公式不是等价的，我们考虑一个具体的反例。设定集合 $ x = {1, 2} $，并定义如下：
- $ P(1) = , P(2) = $
- $ Q(1) = , Q(2) = $
我们分别计算两个公式的真值。
对于公式1： \(\forall x P(x) \vee \forall x Q(x)\)
- \(\forall x P(x)\)：对所有 $ x \(，\) P(x) $ 是否成立？在 $ x = 1 $ 时，$ P(1) = $，但在 $ x = 2 $ 时，$ P(2) = \(。因此，\)x P(x)$ 是假的。
- \(\forall x Q(x)\)：对所有 $ x \(，\) Q(x) $ 是否成立？在 $ x = 1 $ 时，$ Q(1) = $，而在 $ x = 2 $ 时，$ Q(2) = \(。因此，\)x Q(x)$ 也是假的。
所以，\(\forall x P(x) \vee \forall x Q(x) = \text{假} \vee \text{假} = \text{假}\)。
对于公式2： \(\forall x (P(x) \vee Q(x))\)
- 对于 $ x = 1 \(，\) P(1) Q(1) = = $。
- 对于 $ x = 2 \(，\) P(2) Q(2) = = $。
因此，\(\forall x (P(x) \vee Q(x)) = \text{真}\)。
结论：
- 公式1 \(\forall x P(x) \vee \forall x Q(x)\) 为假。
- 公式2 \(\forall x (P(x) \vee Q(x))\) 为真。
由于存在一个反例使得这两个公式的真值不同，因此我们可以得出结论：
$ x P(x) x Q(x) x (P(x) Q(x)) $
问题4：
确定关系 $ R $ 在整数集合 $ $ 上是否是自反的、对称的、反对称的、传递的，其中关系定义为：\((x, y) \in R\) 当且仅当 $ x = y + 1 $ 或 $ x = y - 1 $。
1. 自反性 (Reflexivity)
自反性要求对于集合中的每个元素 $ x $，都有 $ (x, x) R $，即 $ x = x + 1 $ 或 $ x = x - 1 $。
- 显然，$ x = x + 1 $ 或 $ x = x - 1 $ 对于任何整数 $ x $ 都不成立。因此，对于任何 $ x $，关系 $ R $ 中不包含 $ (x, x) $。
结论： 该关系不是自反的。
2. 对称性 (Symmetry)
对称性要求如果 $ (x, y) R $，则必须有 $ (y, x) R $。
- 假设 $ (x, y) R $，即 $ x = y + 1 $ 或 $ x = y - 1 $。
- 如果 $ x = y + 1 $，那么 $ y = x - 1 $，因此 $ (y, x) R $。
- 如果 $ x = y - 1 $，那么 $ y = x + 1 $，因此 $ (y, x) R $。
结论： 该关系是对称的。
3. 反对称性 (Antisymmetry)
反对称性要求如果 $ (x, y) R $ 且 $ (y, x) R $，则必须有 $ x = y $。
假设 $ (x, y) R $ 且 $ (y, x) R $，这意味着 $ x = y + 1 $ 或 $ x = y - 1 $ 且 $ y = x + 1 $ 或 $ y = x - 1 $。
- 如果 $ x = y + 1 $ 且 $ y = x + 1 $，则这与 $ x = y + 1 $ 矛盾。
- 如果 $ x = y - 1 $ 且 $ y = x - 1 $，则这与 $ x = y - 1 $ 矛盾。
因此，不可能同时存在 $ (x, y) R $ 和 $ (y, x) R $ 除非 $ x = y $，然而这与我们已经知道的自反性无关，因此反对称性在这种关系下没有满足。
结论： 该关系不是反对称的。
4. 传递性 (Transitivity)
传递性要求如果 $ (x, y) R $ 且 $ (y, z) R $，则必须有 $ (x, z) R $。
- 假设 $ (x, y) R $ 且 $ (y, z) R $。
- 如果 $ x = y + 1 $ 且 $ y = z + 1 $，则 $ x = (z + 1) + 1 = z + 2 $，所以 $ (x, z) R $。
- 如果 $ x = y + 1 $ 且 $ y = z - 1 $，则 $ x = (z - 1) + 1 = z $，所以 $ (x, z) R $。
- 如果 $ x = y - 1 $ 且 $ y = z + 1 $，则 $ x = (z + 1) - 1 = z $，所以 $ (x, z) R $。
- 如果 $ x = y - 1 $ 且 $ y = z - 1 $，则 $ x = (z - 1) - 1 = z - 2 $，所以 $ (x, z) R $。
通过上述分析，可以看出，在某些情况下传递性不成立。
结论： 该关系不是传递的。
总结：
- 该关系不是自反的。
- 该关系是对称的。
- 该关系不是反对称的。
- 该关系不是传递的。
问题5：
Let $ f $ be a 1-1 function from set $ A $ to set $ B $. Let $ S $ and $ T $ be subsets of $ B $. Show that:
$ f^{-1}(S T) = f^{-1}(S) f^{-1}(T) $
证明：
首先，我们回顾一下函数的逆像（inverse image）的定义：
对于任何子集 $ S B \(，\) f^{-1}(S) $ 是集合 $ A $ 中所有被映射到 $ S $ 中元素的集合，即 $ f^{-1}(S) = { x A f(x) S } $
同理，对于 $ T B \(，\) f^{-1}(T) = { x A f(x) T } $
证明 $ f^{-1}(S T) f^{-1}(S) f^{-1}(T) $：
假设 $ x f^{-1}(S T) \(，这意味着：\) f(x) S T $ 由集合的定义，$ f(x) S T $ 表明 $ f(x) S $ 且 $ f(x) T $。
由于 $ f(x) S $ 和 $ f(x) T \(，根据逆像的定义，\) x f^{-1}(S) $ 且 $ x f^{-1}(T) $。
因此，$ x f^{-1}(S) f^{-1}(T) $。
综上，得出： $ f^{-1}(S T) f^{-1}(S) f^{-1}(T) $
证明 $ f^{-1}(S) f^{-1}(T) f^{-1}(S T) $：
假设 $ x f^{-1}(S) f^{-1}(T) \(，这意味着：\) x f^{-1}(S) x f^{-1}(T) $ 由逆像的定义，$ x f^{-1}(S) $ 表示 $ f(x) S $，而 $ x f^{-1}(T) $ 表示 $ f(x) T $。
因此，$ f(x) S $ 且 $ f(x) T $，这意味着 $ f(x) S T $。
由此，$ x f^{-1}(S T) $。
综上，得出： $ f^{-1}(S) f^{-1}(T) f^{-1}(S T) $
结论：
由上述两部分的证明，我们得出： $ f^{-1}(S T) = f^{-1}(S) f^{-1}(T) $
因此，命题得证。
总结：
我们证明了对于任意的 1-1 函数 $ f $，以及 $ B $ 的子集 $ S $ 和 $ T \(，有：\) f^{-1}(S T) = f^{-1}(S) f^{-1}(T) $ 这一结论成立。
证明题
问题1：
Prove that an undirected graph is either a connected graph or its complementary graph is a connected graph.
解答：
我们需要证明：对于一个无向图 $ G $，要么 $ G $ 是连通图，要么 $ G $ 的补图 $ $ 是连通图。
定义：
- 一个无向图 $ G $ 是连通的，当且仅当图中的每一对顶点都有一条路径连接。
- $ G $ 的补图 $ $ 是由 $ G $ 中的所有顶点组成，且 $ $ 中的边是 $ G $ 中没有的边。换句话说，$ $ 包含所有 $ G $ 中没有边连接的顶点对。
证明：
我们有两种情况需要考虑：
情况 1：图 $ G $ 是连通的
如果 $ G $ 本身是连通的，那么根据连通图的定义，图 $ G $ 中的每一对顶点都有路径连接。因此，图 $ G $ 满足连通性。
在这种情况下，我们不需要考虑 $ $，因为我们已经证明了 $ G $ 是连通的。
情况 2：图 $ G $ 不是连通的
如果 $ G $ 不是连通的，那么存在至少两个连通分量。设 $ G_1 $ 和 $ G_2 $ 是图 $ G $ 的两个不同的连通分量，即它们之间没有边相连。
- 图 $ G $ 中的边：在图 $ G $ 中，$ G_1 $ 和 $ G_2 $ 之间没有边。
- 图 $ $ 中的边：在补图 $ $ 中，$ G_1 $ 和 $ G_2 $ 之间有边（因为补图包含了所有图 $ G $ 中没有的边）。因此，$ $ 中存在从 $ G_1 $ 到 $ G_2 $ 的边。
现在我们进一步分析：
- 在补图 $ $ 中，$ G_1 $ 和 $ G_2 $ 是相连的，因为在补图中，它们之间有一条边。
- 并且 $ $ 中的每个顶点仍然可以通过路径与其他顶点相连，因为如果 $ G $ 中的两个顶点之间没有边，它们之间就会在 $ $ 中存在一条边。
因此，图 $ $ 是连通的。
结论：
综上所述，假设图 $ G $ 是无向图：
- 如果 $ G $ 是连通的，那么 $ G $ 自身就是连通图。
- 如果 $ G $ 不是连通的，那么补图 $ $ 是连通图。
因此，我们证明了每个无向图要么是连通的，要么其补图是连通的。
总结：
我们已经证明了：对于一个无向图 $ G $，要么 $ G $ 是连通图，要么它的补图 $ $ 是连通图。
问题2：
Let $ A $ be a set of positive integers, and define the relation $ R $ on $ A A $ as follows: for $ (x, y), (u, v) A A $, $ x, y R u, v $ if and only if $ xy = uv $. Prove that $ R $ is an equivalence relation on $ A A $.
解答：
我们需要证明，关系 $ R $ 是 $ A A $ 上的等价关系。为了证明这一点，我们需要验证关系 $ R $ 满足等价关系的三个性质：自反性、对称性和传递性。
1. 自反性 (Reflexivity)
为了证明 $ R $ 是自反的，我们需要证明，对于任何 $ x, y A A $，都有 $ x, y R x, y $。也就是说，我们需要证明：
$ xy = xy $
显然，这个等式是成立的。因此，关系 $ R $ 是自反的。
2. 对称性 (Symmetry)
为了证明 $ R $ 是对称的，我们需要证明，如果 $ x, y R u, v $，则 $ u, v R x, y $。也就是说，如果 $ xy = uv $，我们需要证明 $ uv = xy $。
显然，$ xy = uv $ 说明 $ uv = xy $ 也是成立的。因此，关系 $ R $ 是对称的。
3. 传递性 (Transitivity)
为了证明 $ R $ 是传递的，我们需要证明，如果 $ x, y R u, v $ 且 $ u, v R p, q $，则 $ x, y R p, q $。也就是说，如果 $ xy = uv $ 且 $ uv = pq $，我们需要证明 $ xy = pq $。
根据假设，$ xy = uv $ 和 $ uv = pq $，因此可以推得：
$ xy = pq $
所以，关系 $ R $ 是传递的。
结论：
由于关系 $ R $ 满足自反性、对称性和传递性，因此我们可以得出结论：$ R $ 是 $ A A $ 上的等价关系。
总结：
我们已经证明了，给定的关系 $ R $ 是一个等价关系，因为它满足自反性、对称性和传递性。
问题3：
An undirected tree has five leaves, one 2-degree vertex, one 3-degree vertex, and the degree of the rest of the vertices is 4. How many vertices does the tree have in total? Please draw all of the undirected trees that are non-isomorphic to each other.
解答：
步骤 1：分析树的性质
根据题目，给定的树有以下顶点信息：
- 五个叶子节点（度数为1）。
- 一个2度的顶点。
- 一个3度的顶点。
- 其余的顶点度数为4。
我们知道，树是一个连通的无环图。对于一个树，顶点数 $ V $ 和边数 $ E $ 满足以下关系： $ E = V - 1 $ 此外，树中的所有顶点的度数之和等于边数的两倍，即： $ = 2E $
步骤 2：计算树的总顶点数
我们已知树中有五个叶子节点，它们的度数是1，所以五个叶子节点的度数之和是： $ 5 = 5 $ 一个2度的顶点的度数为2，一个3度的顶点的度数为3，剩下的顶点度数是4。
假设树中有 $ n $ 个顶点，其中5个是叶子节点，1个是2度的节点，1个是3度的节点，剩下的顶点的度数都是4。因此，剩余的顶点个数是 $ n - 7 $（因为5个叶子节点 + 1个2度节点 + 1个3度节点），这些顶点的度数都是4。
总的度数是： $ 5 + 2 + 3 + 4(n - 7) $ 等式左边是所有顶点的度数之和，等式右边是度数的具体计算。
根据树的性质，度数之和等于边数的两倍。边数是 $ E = n - 1 \(，因此：\) 2E = 2(n - 1) = 2n - 2 $ 所以： $ 5 + 2 + 3 + 4(n - 7) = 2n - 2 $ 简化这个方程： $ 5 + 2 + 3 + 4n - 28 = 2n - 2 $ $ 4n - 18 = 2n - 2 $ $ 2n = 16 $ $ n = 8 $ 所以，树的总顶点数是8个。
