数据结构16A

这一张的选择题全是老题，大题能否让我感受到一点惊喜呢？

填空题

都是很一眼的题目，当作开胃小菜好了。

问题：

  1. **The height of the shortest tree and the tallest tree with both n nodes is respectively __2_or n(n<2) and n, suppose that the height of the one-node tree is 1.**
  2. A 3-ary full tree with n internal nodes has 3n+1 nodes.

解答和解释：

第1部分：树的高度

  1. 最短树的高度：
    • 最短树是指在节点数为 n 的情况下，能够形成的高度最小的树。在这种情况下，我们通常会构建一个尽可能平衡的树。例如，完全二叉树通常会提供最小的树高。
    • 对于 n = 1，高度为 1，因为树只有一个节点。
    • 对于 n ≥ 2，如果我们使用尽可能平衡的结构，最短树的高度为 ⌈log₂(n+1)⌉。因此，最短树的高度是取决于 n 的具体值。如果是完全二叉树的情况下，n < 2 时，最短树高度是 1，当 n >= 2 时，高度会逐渐增大。
  2. 最高树的高度：
    • 最高树是指节点数为 n 的情况下，高度最大的树。为了构建最高树，必须将树构造为一条链形（即每个节点都有一个子节点）。在这种情况下，树的高度就是节点的数量。因此，对于 n 个节点的最高树，其高度为 n。

总结：

  • 最短树的高度：1 (当 n = 1)，⌈log₂(n+1)⌉ (当 n > 1)。
  • 最高树的高度：n。

第2部分：3-叉完全树的节点数

3-叉完全树是一种每个内部节点都有 3 个子节点的树。对于这样一棵树，我们有以下的关系：

  • 内部节点（internal nodes）：树中的节点是有子节点的节点。
  • 叶节点（leaf nodes）：没有子节点的节点。

一个 3-叉完全树 的特点是每个内部节点都有 3 个子节点。假设树有 n 个内部节点，那么这个树的总节点数（包括内部节点和叶节点）可以通过以下推导得到：

  • 每个内部节点有 3 个子节点。
  • 共有 n 个内部节点。
  • 因此，树中会有 3n 个叶节点。
  • 所以，树的总节点数 = 内部节点数 + 叶节点数 = n + 3n = 3n + 1。

总结：

  • 3-叉完全树的节点数为 3n + 1，其中 n 是内部节点的数量。

最终答案：

  1. 最短树的高度是 1 或 ⌈log₂(n+1)⌉（当 n < 2 时）。
  2. 最高树的高度是 n。
  3. 一棵具有 n 个内部节点的 3-叉完全树的总节点数为 3n + 1。

二叉树的形态问题

很遗憾，这张试卷只有这道题能拿出来了，其他都是老题。

其实这道题也是。

请计算总共有6个节点的二叉树的不同形态数量。

给定的内容：

  • 2个节点：2种形态
  • 3个节点：根节点可以分配为1个和2个节点，这样有 1 + 2 + 2 = 5 种形态
  • 4个节点：根节点可以分配为0,3；1,2；2，所以有 5 + 5 + 2 + 2 = 14 种形态
  • 5个节点：14 + 14 + 5 + 5 + 4 = 42 种形态
  • 6个节点：32 + 32 + 14 + 14 + 5 * 2 * 2 = 132 种形态

此外，还给出了一种通用公式：
$ C(n) = $ 这个公式计算的是卡塔兰数，用于计算特定数量节点的二叉树形态数量。

解答和解释：

1. 二叉树的数量：

卡塔兰数公式： 对于给定的 n 个节点，二叉树的形态数可以通过卡塔兰数来计算。卡塔兰数的计算公式为：

$ C(n) = $

其中，\(\binom{2n}{n}\) 是组合数，表示从 2n 个元素中选择 n 个元素的方式数。

2. 逐步计算：

  • 2个节点：
    使用卡塔兰数公式计算：
    $ C(2) = = = 2 $ 所以，2个节点的二叉树有 2 种形态。

  • 3个节点：
    $ C(3) = = = 5 $ 所以，3个节点的二叉树有 5 种形态。

  • 4个节点：
    $ C(4) = = = 14 $ 所以，4个节点的二叉树有 14 种形态。

  • 5个节点：
    $ C(5) = = = 42 $ 所以，5个节点的二叉树有 42 种形态。

  • 6个节点：
    $ C(6) = = = 132 $ 所以，6个节点的二叉树有 132 种形态。

3. 总结：

  • 2个节点：2 种形态
  • 3个节点：5 种形态
  • 4个节点：14 种形态
  • 5个节点：42 种形态
  • 6个节点：132 种形态

计算过程：

通过卡塔兰数公式，我们得出每种节点数量下的二叉树形态数，从而给出答案。