工科数学分析上
工科数学分析上
CSDN上写的拿来救一下下学期的自己，顺便勉励自己再写一篇.....
----------------引言
第一节 集合与实数集
比较重要的是实数具有稠密性。
即在两个实数之间存在无穷个其他实数，
然后是绝对值不等式
第一个经常用来放缩不等式，证明极限
第二个则在一道课后题出现过，证明拿到a+2b的好像是（找到原题了）
这道题需要将我们要证明的点泰勒展开，然后用三角不等式，比较难（我不看答案不会写）
伯努利不等式
平均值不等式
再掌握一下左邻域和右邻域的表示方法，可能会作为第一题出现
还有一个就是确界原理，
一个非空有上(下)界的数集必存在上(下)确界.
不过不怎么考就是说，感觉上界下界的应用集中在那个单调有界收敛定理，而不是只是证明个上确界。
比如这种题
设 $ x_1 = 5 \(，\) x_n = $，其中 $ n = 2, 3, $。
求： $ _{n } x_n $
这样排版清晰了吗？如果有需要进一步调整或解答，请告诉我！
先证明有上界：
x1<5成立
假设xn<5
则xn+1<5。
再证明单增，除过去，根据刚刚结论即可
再两边取无穷就行
感觉泥工就喜欢考这个，不过这道比较常规。
还有一些留在单调有界那里罢。
第二节 映射与函数
不见得会考什么满射，单射，一一单射。
满射就是y全部有对应
单射就是每个X对应的y不一样
后者就是两个都有
有一种判断函数是否相同的题型，注意定义域和一些其他的就行。
上面是换元思想的初步体现
下面有一个比较重要的函数
完全相同的
有一道比较坑的题目，贴出来记忆一下罢。
这一部分考试基本不出题（我觉得）
第一节 函数极限的概念
主要是这
其中
一个与之相反的定义，不过我还是认为这个题没他位置
一道例题，了解一下就行
题型：
函数极限 $ _{x -} f(x) = A $ 的 \(\varepsilon\)-\(X\) 定义为：
- 对于任意的 $ G > 0 $，存在 $ > 0 $，使得对于所有满足 $ -< x - x_0 < 0 $ 的 $ x $，有 $ f(x) < -G $。
额外说明：
- 函数值无穷引入 $ G $。
- 定义域无穷引入 $ N $。
- 左邻域在表达时加上负号 \(-\)。
如果还有调整需求，可以随时告诉我！
注意上一章节讲述的左极限和右极限的书写，还有本题的不等式放缩，都是上一章的内容。
还有一种题型会考到，就是左右极限相等才连续，一般结合可导一起考察。
这道进行有理化之后可以进行适当的放缩，然后即可。
这道也是标准的做法，这里应该是默认n>=1了，当成数列了应该是，不然这样放估计有点问题。
第二节 数列极限的概念
函数极限与数列极限的关系
海涅定理的精髓感觉就是我可以取子列证反。
一般是取两个子列，各自趋近于正无穷，来证伪。
第三节 极限的运算法则
感觉没什么好讲的啊（蒟蒻保命）
感觉会无穷小，会有理化，应该就差不多了，偶尔需要个取对（这个经常考）。
比较需要注意的可能反而是渐近线。
三条渐近线理解一下。
泰勒公式求极限，实际上这题可以换n分之一为t然后进行洛必达，可以一试。
这里需要用到积分的换元才能做下去，积分的策略是必须求导，然后观察。
还有一道和这道一样的，也是需要先把里面的令成u才能做
洛必达之后进行倒变换可以换成一类重要极限
求极限：
$ _{x } $
先无穷小再泰勒.
极限
- 本题就需要变成e为底的，再化简采用洛必达等方法
- 下面这个直接洛必达就行
- 极限；
；也是先等价无穷小再进行洛必达，因为有积分
洛必达就可以。
第四节 极限的性质与两个重要极限
夹逼性，和保号性可能会考
两个重要极限注意代换即可
一般都是直接考上面那一种题型了
无穷小部分主要夹杂在这之中。
第五节 实数基本定理
一、单调有界收敛定理
经常考
可以先求出x2判断一下单调性，然后再进行证明。
这样不至于连求上界还是下界都不知道。
我们这样目标就很明确，就是求下界和单调减少，
xn>0显然下界就有了。
本题单调不太好求出，需要进行一个递推，才能证明得出，之后取极限即可。
同样也是，我们可以求出x2判断出是单调减少，xn又大于等于根号2，就先有下界了，然后求单减就比较好求了，总体步骤就是这样。
显然xn单增，这是可以观察得到的，但上界如何证明呢？
a+xn>xn的平方
那么可以证明有上界，再取极限就行了。
致密性定理：每个有界数列都有收敛的子列
用的比较多的实际上是他的逆定理。
柯西收敛
第七节、连续与间断
可能会考分段函数那块。
三类分段点
第一类，左右极限都存在，就是可去或跳跃
第二类：左右极限至少有一个不存在，无穷或振荡
最难的还是接下来这一部分
第八节 连续函数的性质
有界性：闭区间连续必当有界
最大最小值定理：闭区间连续必有最大值最小值
零点存在定理：异号中间有根
介值定理：两个函数值之间的任一函数值必有一x与之对应
康托定理在一致连续性的应用往往是用康托定理缩小范围。
理论其实就这些，题目看看具体怎么考
第一道题目：一致连续性结合拉格朗日进行考察，因为我们这时候已经没办法化成正常的x1-x2了，必须借助拉格朗日了
经过拉格朗日的放缩后就可以出现我们需要的x1-x2了。
第二题：拉格朗日+一致连续
第三题：构造e的x次方*x然后零点存在性定理就可
第四题：
采用和差化积，然后就可以进行放缩
提供公式如下
第五题：康托定理和子列的选取和一致连续
由于康托定理则第一个成立
然后取两个子列，就可以了。
取两个子列相减趋近于0，然后证明大于所谓的一波斯诺就行了。
第六题：介值定理
运用在后半部分，由于他肯定介于最大值最小值之间，所以一定有一个（可喜）位于（可喜1）和（可喜2）之间
第七题：好像是罗尔定理，有点串场了
不过讲解一下构造函数
构造x*f(x)
然后还需要积分中值定理，得到F（1）=F（可喜）
然后用罗尔定理，这部分请看第三章后再看。
第八题：构造和PPT一题一样
然后又拉格朗日即可
第九题：还是拉格朗日加上一致连续
由于条件就可以得到部分一致连续，再由于康托定理又一部分连续，则全部连续
第一，二，三节 导数的概念， 函数的求导法则，隐函数的导数和参数式求导
主要定义，有时候极限洛必达后可能会出现定义的写法，这时候不能再洛下去了，必须结合定义求解
还有，对于在单独一个点的导数也需要结合定义。
可导等价于左导数等于右导数
极坐标式求导
对r和角度乘积求导
习题1：
求n阶导数的应用，可以消去一些部分
习题2：
隐函数求导注意一下即可，
第二点：求解二阶导的时候如果是参数方程，要注意÷x对t的求导
第三题：实际应用题：设有光强度为a与b的两个光源，它们之间的距离是d. 假定照度与光强度成正比而与距离的平方成反比. 试问在两光源之间的直线段上什么地方其光的照度最小？
建模求导就行
第四题：同样是隐函数求导
只需要进行求出导数带进去即可
第五题：参数方程求导
注意重新÷就行。
第六题：参数方程求导：
- 椭圆在t=π4处的切线方程为：；
在t=π4处的切线方程为：
；第七题：隐函数求导但是需要先取对数不然头大
第8题：实际应用题 
编辑
也是建模后求导即可
第9题：求n阶导数
和第一题一样
第十题：求n阶导
有点巧妙，学到了
第十一题：参数方程的求导
第十二题：依然n阶导，和上面一样
第五节 微分中值定理与泰勒公式
带皮亚诺余项的
带拉格朗日余项的
函数的性态研究
主要是求两个导数
求出驻点和拐点，判断图像
注意渐近线和无穷处的极限不能漏掉
同时凹凸函数的部分性质需要掌握，比如凸函数切线都在下方，还有中间点的函数值偏小，二阶导此刻大于0
第一题：拉格朗日的运用
第二题：列表题目，正常必定会有，百分百
先判断定义域，求驻点和拐点，列表，绘图即可，如果不要求画图的
第三题：还是一样的拉格朗日啊，真没变
第四题：这题设那个点x0为最小值的点，由费马定理自然有导函数为0，然后自然就可以在该点展开，后就可以进行讨论，就恒成立。
第五题：函数性态
第六题：画出图像
第七题：
第一题：求二阶导大于0就可凸函数。
第二题：构造b*x<x的p次方/p+b的q次方/q则进行求导带入
第八题：
求导
第九题：
第二个问的第二个问不太好证明，背一下把（bushi)
第四章 积分
估值用的，我想也不会考
积分第一中值定理
牛顿莱布尼兹
注意如果t混入x要么换元要么提出去
还要一类十定积分的应用，或者说表示
k/n时候当初x
好比这题,i/n当初x写就行了
掌握不定积分的三种求法和有理函数的求法，和三角有关思考变形或者万能或者分步
反常积分实际上和上面没什么太大区别一般还是正常求
几何上的应用在公式基础上变形即可
物理应用不太可能考
面积公式
体积公式：
后两个为绕着y轴旋转
已知截面
弧长：
侧面积
还有两种同上
一大波题目来袭：
第一道题：
两边同时取积分
第一项奇函数消去，第二项用三角变换，倍角公式
第二道题：
先把e-x移动进去，再把1+e-x移动进去，然后分步积分，后一部分的积分用换元可以求出
换元是把e-x换掉，也可以等式上下×e的x次方，然后移动进去一个，这种方法更好。
第三题：
答案直接换了，我的话应该是会化为x=secx，然后变换的，化成后会变成你认识的积分的
这就是我的写法。
第三道题：常规换元求解即可
第四道题：求面积
注意是0到4分之Π
第五道题目：求解体积
这题无法死记忆公式，只能够分析
用绕y轴的公式进行变形才行
第六道题：和上面一题一样套路
第七题：想不到就先分步积分罢，能看到一样的
第八题：
采用第三个面积公式。
第九题：
第九题则是需要将区间分割为两部分分别运用第一个面积公式，不然会有负数
第十题：分步一次积分，有规律
然后就可以猜出来了.......
第十一题：
第一种做法自然是直接硬算，然后会有重复的一项
另一种你可以万能替换
分母1-t的平方
如果是cos就是1+t平方
如果是sin,就是2t
移出来是2
第十二题：建议用第一种方法一劳永逸
第十三题：
没看出和普通有什么区别，正常算就好了
第十四题：典型分部积分
第十五题：
分子分母速速同时×e的x次方
第十六题：
只需要换个元就可以，可以观察到x分之一的罢
第十七题：一样用第三个体积公式即可
第十八题：你需要分成两部分，进行计算，还有1-cosx=2sin2x/2然后进行分部积分
原题x-sinx/1-cosx（忘记截屏）
第十九题：第一题直接隐函数求导，第二题的用第一个面积公式记得先把化简出来
第20题：运用到了保号性
假设一点为0，则在一个（可喜）邻域里面他必大于0，然后用区间的可加性，这个答案写的不那么仔细，严格应该是3段区间都要写出来，放缩掉2段才行
第21和22题
第一题可以像他这样分步，也可以用半角
第二题就是直接用面积的第二个公式即可
第23题：极坐标的求导不多见，可以康康，极坐标的弧长也是不多见，可以康康
第24题：比较巧妙，我建议我背下来（bushi）
世间温柔，不过是芳春柳摇染花香，槐序蝉鸣入深巷，白茂叶落醉故乡。
