离散习题讲解（13）
离散习题讲解（13）
她来听我的演唱会......
Q1:
Which of these graphs are trees?
A1:
a)
解释：
- 树的定义：一个图是树，当且仅当它是连通的并且不包含任何简单回路（即环）。
- 该图是连通的，并且没有简单回路。因此，这个图是一个树。
结论：这个图是树。
b)
解释：
- 同样地，树的定义要求图必须是连通的且没有简单回路。
- 该图是连通的，并且没有简单回路。因此，这个图是一个树。
结论：这个图是树。
c)
解释：
- 该图不是连通的。根据树的定义，一个图必须是连通的，否则它就不是树。
- 因为图不连通，所以它不是树。
结论：这个图不是树，因为它不是连通的。
d)
解释：
- 该图是连通的，并且没有简单回路。
- 根据树的定义，这个图是一个树。
结论：这个图是树。
e)
解释：
- 该图有一个简单回路。根据树的定义，树不能包含任何回路。
- 因为图包含回路，所以它不是树。
结论：这个图不是树，因为它包含简单回路。
f)
解释：
- 该图是连通的，并且没有简单回路。
- 根据树的定义，这个图是一个树。
结论：这个图是树。
答案总结：
- a) 这个图是树，因为它是连通的并且没有简单回路。
- b) 这个图是树，因为它是连通的并且没有简单回路。
- c) 这个图不是树，因为它不是连通的。
- d) 这个图是树，因为它是连通的并且没有简单回路。
- e) 这个图不是树，因为它包含简单回路。
- f) 这个图是树，因为它是连通的并且没有简单回路。
Q2:
How many edges does a tree with 10,000 vertices have?
A2:
解释：
- 树的性质：一个树是一个连通且没有回路的图。对于一个具有 $ n $ 个顶点的树，树的边数总是 $ n - 1 $。
- 公式：对于一个包含 $ n $ 个顶点的树，边数是 $ n - 1 $。
应用在本题：
- 树的顶点数是 $ 10,000 $，所以边数是 $ 10,000 - 1 = 9,999 $。
结论：这个树有 9,999 条边。
答案总结：
- 边数：$ 9,999 $
Q3:
How many leaves does a full 3-ary tree with 100 vertices have?
A3:
解释：
- 全3叉树（Full 3-ary Tree）的定义：每个非叶子节点都有三个子节点。对于一个完全的 $ m $-叉树，其中 $ m $ 为树的叉数（在本题中是 3），树的总顶点数、非叶子节点数和叶子节点数之间有特定的关系。
- 公式：对于一个完全的 $ m $-叉树，具有 $ n $ 个总顶点时，叶子节点数 $ L $ 可以通过以下公式计算： $ L = $ 其中，$ n $ 是树的总顶点数，$ m $ 是叉数。
应用在本题：
- $ m = 3 \(，\) n = 100 $
- 根据公式计算叶子节点数： $ L = = = = 67 $
结论：这棵全3叉树有 67 个叶子节点。
答案总结：
- 叶子节点数：67
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