离散习题讲解（3）

她来听我的演唱会......

问题：

让 $ Q(x, y) $ 表示“x 是 y 的首都”，请给出以下命题的真值：

a) $ Q(, ) $

b) $ Q(, ) $

c) $ Q(, ) $

d) $ Q(, ) $

解答与解释：

a) $ Q(, ) $
- $ Q(x, y) $ 表示“x 是 y 的首都”。此处 $ x = $ 且 $ y = $。
- Denver 是 Colorado 的首都，因此命题成立。
真值：T（真）
b) $ Q(, ) $
- $ Q(x, y) $ 表示“x 是 y 的首都”。此处 $ x = $ 且 $ y = $。
- Detroit 不是 Michigan 的首都。Michigan 的首都是 Lansing。
真值：F（假）
c) $ Q(, ) $
- $ Q(x, y) $ 表示“x 是 y 的首都”。此处 $ x = $ 且 $ y = $。
- Massachusetts 是一个州，而 Boston 是 Massachusetts 的首都。所以，命题中的 $ x $ 和 $ y $ 不是一个有效的组合。
真值：F（假）
d) $ Q(, ) $
- $ Q(x, y) $ 表示“x 是 y 的首都”。此处 $ x = $ 且 $ y = $。
- New York City 不是 New York 州的首都。New York 州的首都是 Albany。
真值：F（假）

总结：

a) $ Q(, ) $ 的真值是 T（真）
b) $ Q(, ) $ 的真值是 F（假）
c) $ Q(, ) $ 的真值是 F（假）
d) $ Q(, ) $ 的真值是 F（假）

问题：

对于每个命题，判断其真值，假设每个变量的定义域是所有实数。

a) $ x , (x^2 = 2) $

b) $ x , (x^2 = -1) $

c) $ x , (x^2 + 2 ) $

d) $ x , (x^2 = x) $

解答与解释：

a) $ x , (x^2 = 2) $

$ x $ 表示“存在某个 $ x $，使得 $ x^2 = 2 $”。我们需要检查是否存在一个实数 $ x $ 使得 $ x^2 = 2 $。
$ x^2 = 2 $ 的解是 $ x = $，这是实数。
因此，命题成立。

真值：T（真）

b) $ x , (x^2 = -1) $

$ x $ 表示“存在某个 $ x $，使得 $ x^2 = -1 $”。
对于实数，任何数的平方都不可能是负数。因此，没有实数 $ x $ 使得 $ x^2 = -1 $。
因此，命题不成立。

真值：F（假）

c) $ x , (x^2 + 2 ) $

$ x $ 表示“对于所有实数 $ x $，$ x^2 + 2 $”。
$ x^2 $ 对所有实数 $ x $ 都成立，所以 $ x^2 + 2 $ 对所有实数 $ x $ 都成立，显然大于或等于 1。
因此，命题成立。

真值：T（真）

d) $ x , (x^2 = x) $

$ x $ 表示“对于所有实数 $ x $，$ x^2 = x $”。
解这个方程 $ x^2 = x $，可以得到 $ x(x - 1) = 0 $，即 $ x = 0 $ 或 $ x = 1 $。
所以，只有 $ x = 0 $ 和 $ x = 1 $ 满足 $ x^2 = x $，但是命题要求对所有实数 $ x $ 都成立，因此这个命题不成立。
因此，命题不成立。

真值：F（假）

总结：

a) $ x , (x^2 = 2) $ 的真值是 T（真）
b) $ x , (x^2 = -1) $ 的真值是 F（假）
c) $ x , (x^2 + 2 ) $ 的真值是 T（真）
d) $ x , (x^2 = x) $ 的真值是 F（假）

问题：

设 $ P(x) $，$ Q(x) $，$ R(x) $，和 $ S(x) $ 分别表示以下语句：

$ P(x) $：$ x $ 是一只鸭子
$ Q(x) $：$ x $ 是我的家禽
$ R(x) $：$ x $ 是一名军官
$ S(x) $：$ x $ 愿意跳华尔兹

请使用量词、逻辑连词、$ P(x) $、$ Q(x) $、$ R(x) $ 和 $ S(x) $ 表达以下每个命题：

a) No ducks are willing to waltz.

b) No officers ever decline to waltz.

c) All my poultry are ducks.

d) My poultry are not officers.

e) Does (d) follow from (a), (b), and (c)? If not, is there a correct conclusion?

解答与解释：

a) No ducks are willing to waltz.

这句话的意思是“所有的鸭子都不愿意跳华尔兹”。
使用量词和逻辑符号表示： $ x (P(x) S(x)) $ 其中，$ P(x) $ 表示 $ x $ 是一只鸭子，$ S(x) $ 表示 $ x $ 愿意跳华尔兹，$ S(x) $ 表示 $ x $ 不愿意跳华尔兹。

解释： 这表示对于所有 $ x $，如果 $ x $ 是一只鸭子，那么 $ x $ 不愿意跳华尔兹。

b) No officers ever decline to waltz.

这句话的意思是“所有的军官都愿意跳华尔兹”。
使用量词和逻辑符号表示： $ x (R(x) S(x)) $ 其中，$ R(x) $ 表示 $ x $ 是一名军官，$ S(x) $ 表示 $ x $ 愿意跳华尔兹。

解释： 这表示对于所有 $ x $，如果 $ x $ 是一名军官，那么 $ x $ 愿意跳华尔兹。

c) All my poultry are ducks.

这句话的意思是“所有的家禽都是鸭子”。
使用量词和逻辑符号表示： $ x (Q(x) P(x)) $ 其中，$ Q(x) $ 表示 $ x $ 是我的家禽，$ P(x) $ 表示 $ x $ 是一只鸭子。

解释： 这表示对于所有 $ x $，如果 $ x $ 是我的家禽，那么 $ x $ 是一只鸭子。

d) My poultry are not officers.

这句话的意思是“没有我的家禽是军官”。
使用量词和逻辑符号表示： $ x (Q(x) R(x)) $ 其中，$ Q(x) $ 表示 $ x $ 是我的家禽，$ R(x) $ 表示 $ x $ 是军官，$ R(x) $ 表示 $ x $ 不是军官。

解释： 这表示对于所有 $ x $，如果 $ x $ 是我的家禽，那么 $ x $ 不是军官。

e) Does (d) follow from (a), (b), and (c)? If not, is there a correct conclusion?

现在我们检查 (d) 是否从 (a), (b), (c) 推导出来。
- (a) 说所有的鸭子都不愿意跳华尔兹，即 $ x (P(x) S(x)) $。
- (b) 说所有军官都愿意跳华尔兹，即 $ x (R(x) S(x)) $。
- (c) 说所有我的家禽都是鸭子，即 $ x (Q(x) P(x)) $。

我们需要证明是否可以从 (a), (b), (c) 推出 (d)：