离散习题讲解（4）
离散习题讲解（4）
她来听我的演唱会......
问题：
确定以下命题的真值，假设每个变量的定义域是所有实数。
a) $ x , y , (x = y^2) $
b) $ x , y , (x + y = 1) $
c) $ x , y , (x + y = 2 2x - y = 1) $
d) $ x , y , z , ( z = ) $
解答与解释：
a) $ x , y , (x = y^2) $
- 这表示对于所有的实数 $ x $，是否存在一个实数 $ y $，使得 $ x = y^2 $。
- 由于 $ y^2 $ 总是非负的（即 $ y^2 $），对于任何负实数 $ x $，不存在一个实数 $ y $ 使得 $ x = y^2 $。
- 因此，这个命题不成立，因为对于负数 $ x $，没有符合条件的 $ y $。
真值：F（假）
b) $ x , y , (x + y = 1) $
- 这表示对于所有的实数 $ x $，是否存在一个实数 $ y $，使得 $ x + y = 1 $。
- 对于任何实数 $ x $，我们可以选择 $ y = 1 - x $，这样就满足 $ x + y = 1 $。
- 因此，命题成立。
真值：T（真）
c) $ x , y , (x + y = 2 2x - y = 1) $
- 这个命题包含了两个条件：$ x + y = 2 $ 和 $ 2x - y = 1 $。
- 通过解这个二元方程组：
- $ x + y = 2 $ 可以得到 $ y = 2 - x $。
- 将 $ y = 2 - x $ 代入 $ 2x - y = 1 $ 得到： $ 2x - (2 - x) = 1 2x - 2 + x = 1 3x = 3 x = 1 $
- 当 $ x = 1 $ 时，代入 $ x + y = 2 $ 得到 $ y = 1 $。
- 因此，只有当 $ x = 1 $ 时，方程组才有解，对于其他 $ x $ 并不存在解。
- 由于命题要求对所有 $ x $ 都成立，因此这个命题不成立。
真值：F（假）
d) $ x , y , z , ( z = ) $
- 这个命题表示对于所有实数 $ x $ 和 $ y $，是否存在一个实数 $ z $，使得 $ z = $。
- 对于任意的 $ x $ 和 $ y $，我们可以选择 $ z = $，这个值总是存在的且是唯一的。
- 因此，命题成立。
真值：T（真）
总结：
- a) $ x , y , (x = y^2) $ 的真值是 F（假）
- b) $ x , y , (x + y = 1) $ 的真值是 T（真）
- c) $ x , y , (x + y = 2 2x - y = 1) $ 的真值是 F（假）
- d) $ x , y , z , ( z = ) $ 的真值是 T（真）
问题：
将以下命题的否定表示出来，使得所有的否定符号立即出现在谓词前。
a) $ x , y , (P(x, y) z , R(x, y, z)) $
b) $ x , y , (P(x, y) Q(x, y)) $
解答与解释：
a) 否定： $ x , y , (P(x, y) z , R(x, y, z)) $
原命题：$ x , y , (P(x, y) z , R(x, y, z)) $
这个命题表示对于所有的 $ x $，存在一个 $ y $，使得 $ P(x, y) $ 和 $ z , R(x, y, z) $ 同时成立。
否定命题：我们首先对整个命题取否定： $ (x , y , (P(x, y) z , R(x, y, z))) $ 根据量词的否定规则，否定 $ x $ 转化为 $ x $，并且否定 $ y $ 转化为 $ y \(：\) x , y , (P(x, y) z , R(x, y, z)) $
然后，使用德摩根定律来处理 $ \(：\) x , y , (P(x, y) (z , R(x, y, z))) $
接下来，否定 $ z $ 变成 $ z \(：\) x , y , (P(x, y) z , R(x, y, z)) $
否定后的命题：
$ x , y , (P(x, y) z , R(x, y, z)) $
b) 否定： $ x , y , (P(x, y) Q(x, y)) $
原命题：$ x , y , (P(x, y) Q(x, y)) $
这个命题表示对于所有的 $ x $，存在一个 $ y $，使得 $ P(x, y) $ 蕴含 $ Q(x, y) $。
否定命题：我们首先对整个命题取否定： $ (x , y , (P(x, y) Q(x, y))) $ 否定 $ x $ 转化为 $ x $，并且否定 $ y $ 转化为 $ y \(：\) x , y , (P(x, y) Q(x, y)) $
然后，使用 $ (P(x, y) Q(x, y)) $ 的逻辑等价式 $ (P(x, y) Q(x, y)) P(x, y) Q(x, y) \(：\) x , y , (P(x, y) Q(x, y)) $
否定后的命题：
$ x , y , (P(x, y) Q(x, y)) $
总结：
- a) 否定后的命题是：
$ x , y , (P(x, y) z , R(x, y, z)) $ - b) 否定后的命题是：
$ x , y , (P(x, y) Q(x, y)) $
问题：
使用量词表达实数乘法的结合律。即，表达如下的数学命题：
$ x , y , z , ((x y) z = x (y z)) $
解答与解释：
结合律的定义：
实数乘法的结合律是指，对于任意实数 $ x \(、\) y $ 和 $ z \(，有以下等式成立：\) (x y) z = x (y z) $ 这意味着先将 $ x $ 和 $ y $ 相乘，然后再与 $ z $ 相乘，或者先将 $ y $ 和 $ z $ 相乘，再与 $ x $ 相乘，结果是相同的。
使用量词表示：
- 量词 $ $ 表示“对于所有”，
- 运算符 $ $ 表示实数的乘法。
结合律可以用以下形式表示： $ x , y , z , ((x y) z = x (y z)) $ 这个命题的意思是：对于所有的实数 $ x \(、\) y $ 和 $ z $，有 $ (x y) z = x (y z) $。
解释：
- $ x $ 表示对于所有实数 $ x $，
- $ y $ 表示对于所有实数 $ y $，
- $ z $ 表示对于所有实数 $ z $，
- 右边的等式 $ (x y) z = x (y z) $ 表示无论先做 $ x y $ 还是 $ y z $，最终的乘法结果是相同的。
因此，使用量词表示的结合律就是： $ x , y , z , ((x y) z = x (y z)) $
总结：
实数乘法的结合律的量词表示是： $ x , y , z , ((x y) z = x (y z)) $
问题：
证明以下两个命题是逻辑等价的：
- $ x y , P(x, y) $
- $ x y , P(x, y) $
其中，$ P(x, y) $ 是一个谓词，且量词 $ x $ 和 $ x $ 的定义域相同，量词 $ y $ 和 $ y $ 的定义域相同。
解答与解释：
我们将通过逐步转换来证明这两个命题的逻辑等价性。
第一步：对第一个命题进行否定
首先，考虑命题 $ x y , P(x, y) $。我们可以通过量词的否定规则对它进行简化：
- $ x y , P(x, y) $
否定 $ x $ 变成 $ x \(，然后将否定分配到内部：\) x y , P(x, y) x y , P(x, y) $ 这是根据量词的否定规则：$ x x $ 和 $ y y $。
第二步：处理内部的量词
接下来，我们处理 $ y , P(x, y) \(。同样，使用量词的否定规则，得到：\) y , P(x, y) y P(x, y) $ 这是因为 $ y $ 转化为 $ y $ 和 $ P(x, y) $ 是 $ P(x, y) $ 的否定。
将这个结果代入之前的公式中，我们得到： $ x , y , P(x, y) $
第三步：总结
因此，原始命题 $ x y , P(x, y) $ 通过逐步转换得到的等价命题是： $ x y , P(x, y) $
这正是第二个命题。我们已成功证明了 $ x y , P(x, y) $ 和 $ x y , P(x, y) $ 之间的逻辑等价性。
结论：
我们已经证明了两个命题的逻辑等价性： $ x y , P(x, y) x y , P(x, y) $
这两个命题在逻辑上是等价的。
