离散习题讲解（5）

她来听我的演唱会......

问题：

这道题的英文会成为我的弱点。

以下每个推理中使用了哪种推理规则？

a) Alice is a mathematics major. Therefore, Alice is either a mathematics major or a computer science major.

b) Jerry is a mathematics major and a computer science major. Therefore, Jerry is a mathematics major.

c) If it is rainy, then the pool will be closed. It is rainy. Therefore, the pool is closed.

d) If it snows today, the university will close. The university is not closed today. Therefore, it did not snow today.

e) If I go swimming, then I will stay in the sun too long. If I stay in the sun too long, then I will sunburn. Therefore, if I go swimming, then I will sunburn.

解答与解释：

a) Addition

推理规则： Addition（加法规则）
解释： 在这个推理中，已经知道 Alice 是一个数学专业的学生（$ $），然后通过 Addition 推理规则，得出 Alice 至少是数学专业或计算机科学专业之一。此推理的结构是：如果 $ P $ 为真，则 $ P Q $ 也为真。
例子： Alice is a mathematics major $ $ Alice is a mathematics major or a computer science major.

b) Simplification

推理规则： Simplification（简化规则）
解释： 在这个推理中，已知 Jerry 同时是数学专业和计算机科学专业的学生（$ $）。通过 Simplification 推理规则，我们可以从复合命题中提取出一个单一命题，即 Jerry 是数学专业的学生。
例子： $ P Q P $（从 $ P Q $ 中提取 $ P $）。

c) Modus ponens

推理规则： Modus ponens（肯定前件）
解释： 在这个推理中，已知条件 $ $（如果下雨，那么泳池将关闭），并且 $ $（下雨）。通过 Modus ponens 推理规则，可以得出结论：泳池将关闭。Modus ponens 的结构是：如果 $ P Q $ 且 $ P $ 为真，则 $ Q $ 为真。
例子： $ P Q $, $ P $ $ $ $ Q $（如果 $ P $ 则 $ Q $，且 $ P $ 为真，得出 $ Q $ 为真）。

d) Modus tollens

推理规则： Modus tollens（否定后件）
解释： 在这个推理中，已知 $ $（如果今天下雪，大学将关闭），并且已知 $ $（大学今天没有关闭）。通过 Modus tollens 推理规则，我们可以得出结论：今天没有下雪。Modus tollens 的结构是：如果 $ P Q $ 且 $ Q $ 为真，则 $ P $ 为真。
例子： $ P Q $, $ Q $ $ $ $ P $（如果 $ P $ 则 $ Q $，且 $ Q $ 为假，得出 $ P $ 也为假）。

e) Hypothetical syllogism

推理规则： Hypothetical syllogism（假言三段论）
解释： 在这个推理中，已知 $ $（如果我去游泳，那么我会晒太久的太阳），并且 $ $（如果我晒太久的太阳，那么我会晒伤）。通过 Hypothetical syllogism 推理规则，我们可以得出结论：如果我去游泳，我将晒伤。Hypothetical syllogism 的结构是：如果 $ P Q $ 且 $ Q R $，则 $ P R $。
例子： $ P Q $, $ Q R $ $ $ $ P R $（如果 $ P $ 则 $ Q $，如果 $ Q $ 则 $ R $，得出 $ P $ 则 $ R $）。

总结：

a) Addition（加法规则）
b) Simplification（简化规则）
c) Modus ponens（肯定前件）
d) Modus tollens（否定后件）
e) Hypothetical syllogism（假言三段论）

问题：

这个论证有什么问题？让 $ S(x, y) $ 表示 "x 比 y 矮"。给定前提 $ s , S(s, ) $，推导出 $ S(, ) $，然后通过存在量化规则得出 $ x , S(x, x) $，即某人比自己矮。

问题说明： 我们知道某个 $ s $ 存在，使得 $ S(s, ) $ 为真，但我们不能得出 $ $ 是这样的 $ s $。因此，这第一步是无效的。

解答与解释：

这个论证中的问题出现在从 $ s , S(s, ) $ 推导到 $ S(, ) $ 的步骤。

错误分析：

前提 $ s , S(s, ) $ 仅仅表示存在某个 $ s $，使得 $ S(s, ) $ 为真，即某个对象 $ s $ 比 Max 矮。但是，这并不意味着 $ $ 本身比自己矮，或 $ $ 是 $ s $。
问题出现在:
从 $ s , S(s, ) $（即某个 $ s $ 比 Max 矮）推导到 $ S(, ) $（即 Max 比自己矮）。这是错误的推理，因为我们不能仅凭存在量词得出 Max 比自己矮。这个推理步骤违反了量化的逻辑规则。

存在量化的规则：

存在量化（Existential Generalization） 允许我们从某个特定实例的命题推导出存在性命题。例如，如果我们知道 $ S(a, b) $ 对某个特定的 $ a $ 和 $ b $ 为真，我们可以得出 $ x , S(x, b) $ 为真。但是，我们不能反过来，从 $ x , S(x, y) $ 推导出 $ S(y, y) $，除非 $ y $ 本身就是那个 $ x $，即它是同一对象。
错误的推理: 在此论证中，虽然我们知道存在某个 $ s $ 使得 $ S(s, ) $ 为真（某人比 Max 矮），但我们不能从这里推出 $ S(, ) $，即 Max 自己比自己矮。

为什么 $ x , S(x, x) $ 无效：

$ x , S(x, x) $ 表示存在某个人比自己矮，但这一结论并不能直接从 $ s , S(s, ) $ 中推导出来。你不能仅凭某个对象（例如 $ s $）满足某种条件（例如 $ S(s, ) $），就得出结论说 Max 也满足这个条件，尤其是 $ $ 和 $ s $ 是不同的对象。

总结：

问题: 论证在推导 $ S(, ) $ 时犯了逻辑错误。
原因: 存在量词 $ s , S(s, ) $ 仅仅说明存在某个 $ s $，使得 $ S(s, ) $ 为真，但并不意味着 $ $ 本身是那个 $ s $ 或者 $ S(, ) $ 为真。
正确的推理: 我们只能从 $ s , S(s, ) $ 得出某个对象 $ s $ 比 Max 矮，而不能推导出 Max 比自己矮。