离散习题讲解（6）

她来听我的演唱会......

问题：

列出以下集合的成员：

a) $ {x x x^2 = 1} $

b) $ {x x } $

c) $ {x x x < 100} $

d) $ {x x x^2 = 2} $

解答与解释：

a) $ {x x^2 = 1} $

解释： 这是一个包含所有平方等于 1 的实数的集合。解方程 $ x^2 = 1 $ 得到 $ x = 1 $ 或 $ x = -1 $。所以这个集合的成员是 $ -1 $ 和 $ 1 $。
答案： $ {-1, 1} $

b) $ {x x } $

解释： 这是一个包含所有小于 12 的正整数的集合。即从 1 到 11 的所有整数。
答案： $ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} $

c) $ {x x x < 100} $

解释： 这是一个包含所有小于 100 的整数的平方的集合。我们计算小于 100 的整数的平方：$ 0^2 = 0, 1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 9, 4^2 = 16, 5^2 = 25, 6^2 = 36, 7^2 = 49, 8^2 = 64, 9^2 = 81 $。
答案： $ {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81} $

d) $ {x x x^2 = 2} $

解释： 这是一个包含所有平方等于 2 的整数的集合。解方程 $ x^2 = 2 $ 得到的解是 $ x = $，但是 $ $ 不是整数，因此没有整数满足这个方程。
答案： $ $（空集）

总结：

a) $ {-1, 1} $
b) $ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} $
c) $ {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81} $
d) $ $

问题：

每个集合的基数是多少？

a) $ $
b) $ {} $
c) $ {, {}} $
d) $ {, {}, {, {}}} $

解答与解释：

a) $ $

解释： 空集 $ $ 没有任何元素，因此它的基数是 0。
答案： 0

b) $ {} $

解释： 这个集合只有一个元素，即空集 $ $ 本身。因此，这个集合的基数是 1。
答案： 1

c) $ {, {}} $

解释： 这个集合有两个元素：一个是空集 $ $，另一个是包含空集的集合 $ {} $。所以这个集合的基数是 2。
答案： 2

d) $ {, {}, {, {}}} $

解释： 这个集合有三个元素：
1. 空集 $ $
2. 包含空集的集合 $ {} $
3. 包含空集和包含空集的集合的集合 $ {, {}} $
因此，这个集合的基数是 3。
答案： 3

总结：

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

问题：

证明 $ P(A) P(B) $ 当且仅当 $ A B $。

解答与解释：

我们将证明该命题的“若干”部分和“仅若”部分。

1. 若 $ A B $，则 $ P(A) P(B) $（“若”部分）

目标： 假设 $ A B $，我们要证明 $ P(A) P(B) $，即如果 $ C P(A) $，则 $ C P(B) $。

由假设 $ A B $，对任意集合 $ C A $，我们知道 $ C A $。
由于 $ A B $，这意味着 $ C B $（如果 $ C A $ 且 $ A B $，则 $ C B $）。
因此，$ C P(B) $（因为 $ C B $）。
所以，如果 $ C P(A) $，那么 $ C P(B) $，这就证明了 $ P(A) P(B) $。

2. 若 $ P(A) P(B) $，则 $ A B $（“仅若”部分）

目标： 假设 $ P(A) P(B) $，我们要证明 $ A B $。

设 $ a A $。我们需要证明 $ a B $。
考虑集合 $ {a} $，这是一个包含单元素 $ a $ 的集合。显然，$ {a} A $，因此 $ {a} P(A) $。
由于 $ P(A) P(B) $，我们知道 $ {a} P(B) $。
因为 $ {a} P(B) $，所以 $ {a} B $，即 $ a B $。
因此，$ a B $，这证明了 $ A B $。

总结：

若 $ A B $，则 $ P(A) P(B) $
若 $ P(A) P(B) $，则 $ A B $

因此， $ P(A) P(B) $ 当且仅当 $ A B $。

问题：

假设 $ A $ 是你学校的二年级学生集合，$ B $ 是你学校学习离散数学的学生集合。用 $ A $ 和 $ B $ 表示以下集合：

a) 学习离散数学的二年级学生集合
b) 不是学习离散数学的二年级学生集合
c) 学校里二年级学生或者学习离散数学的学生集合
d) 学校里不是二年级学生或者不是学习离散数学的学生集合

解答与解释：

a) 学习离散数学的二年级学生集合

这个集合由二年级学生并且学习离散数学的学生组成。用集合交集表示，即 $ A B $。
答案： $ A B $

b) 不是学习离散数学的二年级学生集合

这个集合由所有是二年级学生但不是学习离散数学的学生组成。用差集表示，即 $ A B $（表示属于 $ A $ 但不属于 $ B $ 的元素）。
答案： $ A B $

c) 学校里二年级学生或者学习离散数学的学生集合

这个集合包含所有是二年级学生或是学习离散数学的学生，或者两者都满足。用并集表示，即 $ A B $。
答案： $ A B $

d) 学校里不是二年级学生或者不是学习离散数学的学生集合

这个集合包含所有不是二年级学生，或者不是学习离散数学的学生，或者两者都满足。根据德摩根定律，这个集合可以表示为 $ A B $，即“不是二年级学生”或者“不是学习离散数学的学生”。
答案： $ A B $ 或 $ A^c B^c $（其中 $ A^c $ 和 $ B^c $ 分别表示 $ A $ 和 $ B $ 的补集）