离散习题讲解（7）
离散习题讲解（7）
她来听我的演唱会......
问题：
判断下列每个函数是否是从 $ $ 到 $ $ 的双射（bijection）。
a) $ f(x) = 2x + 1 $
b) $ f(x) = x^2 + 1 $
c) $ f(x) = x^3 $
d) $ f(x) = $
解答与解释：
a) $ f(x) = 2x + 1 $
- 单射 (Injective): 我们可以验证该函数是单射。假设 $ f(x_1) = f(x_2) $，即 $ 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 $。简化后得到 $ x_1 = x_2 $，说明该函数是单射。
- 满射 (Surjective): 对于任意的 $ y $，我们要找到一个 $ x $ 使得 $ f(x) = y $。解 $ 2x + 1 = y $，得到 $ x = $。由于 $ x $ 可以为任意实数，因此该函数是满射。
- 结论: 因为 $ f(x) = 2x + 1 $ 是单射且满射，所以它是双射。
- 答案： 是的，双射。
b) $ f(x) = x^2 + 1 $
- 单射 (Injective): 如果 $ f(x_1) = f(x_2) $，即 $ x_1^2 + 1 = x_2^2 + 1 $，简化后得到 $ x_1^2 = x_2^2 $，这意味着 $ x_1 = x_2 $ 或 $ x_1 = -x_2 $。因此，该函数不是单射。
- 满射 (Surjective): 对于任意的 $ y $，我们需要找到一个 $ x $ 使得 $ f(x) = y \(。但是，\) f(x) = x^2 + 1 $ 的值始终大于或等于 1，因此不能覆盖 $ $ 中小于 1 的所有值。所以它不是满射。
- 结论: 由于该函数既不是单射也不是满射，因此它不是双射。
- 答案： 不是的，双射。
c) $ f(x) = x^3 $
- 单射 (Injective): 假设 $ f(x_1) = f(x_2) $，即 $ x_1^3 = x_2^3 $，那么 $ x_1 = x_2 $（由于立方函数是单调的）。所以该函数是单射。
- 满射 (Surjective): 对于任意的 $ y $，我们要找到一个 $ x $ 使得 $ f(x) = y $。解 $ x^3 = y $，得到 $ x = $。由于 $ $ 可以是任意实数，因此该函数是满射。
- 结论: 因为该函数是单射且满射，所以它是双射。
- 答案： 是的，双射。
d) $ f(x) = $
- 单射 (Injective): 假设 $ f(x_1) = f(x_2) $，即 $ = $。可以通过交叉相乘并化简得到 $ x_1 = x_2 $ 或 $ x_1 = -x_2 $，说明该函数不是单射。
- 满射 (Surjective): 对于任意的 $ y $，我们需要找到一个 $ x $ 使得 $ f(x) = y \(。然而，\) f(x) = $ 的取值范围始终在 $ (0.5, 1) $ 之间，不能覆盖整个实数集，因此它不是满射。
- 结论: 该函数既不是单射也不是满射，因此它不是双射。
- 答案： 不是的，双射。
总结：
- a) 是的，双射。
- b) 不是的，双射。
- c) 是的，双射。
- d) 不是的，双射。
问题：
证明：如果 $ x $ 是一个实数，那么 $ -x = -x $ 且 $ -x = -x $。
解答与解释：
我们需要证明两个等式：
- $ -x = -x $
- $ -x = -x $
第一个等式：$ -x = -x $
定义：
- $ y $ 表示不大于 $ y $ 的最大整数。
- $ y $ 表示不小于 $ y $ 的最小整数。
设 $ x = n + e $，其中 $ n $ 是整数，$ 0 e < 1 $ 是 $ x $ 的小数部分。
对于 $ -x = -n - e $，我们有：
- $ -x = -n - e $。
- 由于 $ -n - e $ 的小数部分是负的，且不超过 $ -n $，所以：
- $ -n - e = -n - 1 $。
接下来，计算 $ x $：
- $ x = n + e = n + 1 $（因为 $ 0 e < 1 $，所以向上取整得到 $ n + 1 $）。
因此，$ -x = -(n + 1) = -n - 1 $，与 $ -x $ 相同。
结论：$ -x = -x $。
第二个等式：$ -x = -x $
设 $ x = n + e $，其中 $ n $ 是整数，$ 0 e < 1 $ 是 $ x $ 的小数部分。
对于 $ -x = -n - e $，我们有：
- $ -x = -n - e $。
- 由于 $ -n - e $ 的小数部分小于 0，且其绝对值不超过 1，所以：
- $ -n - e = -n $（向上取整）。
接下来，计算 $ x $：
- $ x = n + e = n $（因为 $ 0 e < 1 $，所以向下取整得到 $ n $）。
因此，$ -x = -n $，与 $ -x $ 相同。
结论：$ -x = -x $。
总结：
我们已证明了两个等式：
- $ -x = -x $
- $ -x = -x $
因此，结论得证。
问题：
给定函数 $ f(x) = x^2 + 1 $ 和 $ g(x) = x + 2 $，它们是从 $ $ 到 $ $ 的函数。求 $ f g $ 和 $ g f $。
解答与解释：
我们分别求出 $ f g $ 和 $ g f $ 的表达式。
1. $ f g $ 的计算：
$ f g $ 表示 $ f(g(x)) $，即首先应用 $ g(x) $，然后将结果代入 $ f(x) $。
- $ g(x) = x + 2 $
- $ f(x) = x^2 + 1 $
所以，
$ f(g(x)) = f(x + 2) $
将 $ x + 2 $ 代入 $ f(x) = x^2 + 1 $ 中：
$ f(x + 2) = (x + 2)^2 + 1 $
展开：
$ (x + 2)^2 + 1 = x^2 + 4x + 4 + 1 = x^2 + 4x + 5 $
因此，$ f g(x) = x^2 + 4x + 5 $。
2. $ g f $ 的计算：
$ g f $ 表示 $ g(f(x)) $，即首先应用 $ f(x) $，然后将结果代入 $ g(x) $。
- $ f(x) = x^2 + 1 $
- $ g(x) = x + 2 $
所以，
$ g(f(x)) = g(x^2 + 1) $
将 $ x^2 + 1 $ 代入 $ g(x) = x + 2 $ 中：
$ g(x^2 + 1) = (x^2 + 1) + 2 = x^2 + 3 $
因此，$ g f(x) = x^2 + 3 $。
结论：
- $ f g(x) = x^2 + 4x + 5 $
- $ g f(x) = x^2 + 3 $
注意，$ f g(x) $ 和 $ g f(x) $ 不是相等的，这证明了函数的复合运算不是交换的，即 $ f g g f $。
