离散PPT问题合集

对于自由变量和约束变量和量词的作用范围

我一开始对于量词的作用域范围不够清晰。

一、原子谓词公式

定义：
- 原子谓词公式是最简单的谓词公式。
- 表示为 $ P(x_1, x_2, , x_n) $，其中 $ P $ 是一个 $ n $ 元谓词，$ x_1, x_2, , x_n $ 是个体变元。
- 没有逻辑连接词或量词的组合。
例子：
- $ P(x) $：一元谓词公式。
- $ Q(x, y) $：二元谓词公式。
- 它们没有再被拆分的可能。

二、谓词合式公式

谓词逻辑中的合式公式是符合语法规则的表达式。构造规则如下：

规则 1：每个原子谓词公式都是合式公式。
- 例子：$ P(x) $, $ Q(x, y) $。
规则 2：如果 $ A $ 是合式公式，那么 $ A $ 也是合式公式。
- 例子：如果 $ A = P(x) $，则 $ P(x) $ 也是合式公式。
规则 3：如果 $ A $ 和 $ B $ 是合式公式，则以下也是合式公式：
- $ (A B) $（且）
- $ (A B) $（或）
- $ (A B) $（蕴含）
- $ (A B) $（双向蕴含）
规则 4：如果 $ A $ 是合式公式，且 $ x $ 是 $ A $ 中的个体变元，则：
- $ x A $ 和 $ x A $ 也是合式公式。
规则 5：只有按照上述规则有限次生成的符号串才是合式公式。
注意：
- 为了简洁，外层括号可以省略，但量词后的括号不能省略。

例子：

$ P(x) Q(x) $ 是合式公式。
$ x (P(x) Q(x)) $ 是合式公式。
$ y R(x, y) $ 是合式公式。

三、量词的作用域（辖域）

定义：
量词（$ $、$ $）的作用范围称为量词的作用域或辖域。
规则：
- 如果量词后面只有一个原子谓词公式，则它的辖域是这个谓词公式。
  - 例子：$ x P(x) $ 中，$ x $ 的辖域是 $ P(x) $。
- 如果量词后面是一个括号，则括号内的内容是量词的辖域。
  - 例子：$ x (P(x) Q(x)) $ 中，$ x $ 的辖域是 $ (P(x) Q(x)) $。
- 多个量词连续出现时，后面的量词及其辖域也在前一个量词的辖域内。
  - 例子：$ x y R(x, y) $ 中，$ x $ 的辖域是 $ y R(x, y) $，而 $ y $ 的辖域是 $ R(x, y) $。

四、自由变元与约束变元

定义：
- 约束变元：
  一个变元在量词（$ $ 或 $ $）的辖域内，称为约束变元。
  - 例子：在 $ x P(x) $ 中，$ x $ 是约束变元。
- 自由变元：
  不在任何量词的辖域内的变元是自由变元。
  - 例子：在 $ P(x) Q(y) $ 中，$ x $ 和 $ y $ 是自由变元。
特性：
- 一个公式没有自由变元时，它是一个命题，其真假可以确定。
- 如果存在自由变元，则表达式依赖于这些变元的值。

五、约束变元的换名规则

定义：
将公式中某量词辖域内的约束变元更换成其他符号，同时确保不与已有变元冲突，称为换名。
性质：换名后的公式与原公式等价。
例子：
$ x (P(x) Q(x)) $ 中，将 $ x $ 改为 $ z $，得到 $ z (P(z) Q(z)) $，两者等价。

六、自由变元的代入规则

定义：
自由变元可以被另一个变元或具体值替代，称为代入。代入后的公式与原公式等价。
例子：
$ P(x) Q(y) $ 中，将 $ x $ 替换为 $ z $，得到 $ P(z) Q(y) $。

对于量词之间的转换不够清晰

知识点空缺

谓词逻辑中的量词和逻辑运算总结

一、常用逻辑符号与含义

量词：
- $ x $: 对所有 $ x $（全称量词）。
- $ x $: 存在某个 $ x $（存在量词）。
逻辑运算符：
- $ $: 或（逻辑加法，表示至少一个为真）。
- $ $: 且（逻辑乘法，表示同时为真）。
- $ $: 非（取反，表示真变假，假变真）。
- $ $: 蕴含（若前者为真，则后者为真）。
- $ $: 等价（两者值相同）。

二、重要公式及其含义

1. $ x (P(x) Q(x)) $

含义：对于每个 $ x $，$ P(x) $ 或 $ Q(x) $ 至少一个为真。
例子：$ P(x) $: $ x $ 选修了钢琴课；$ Q(x) $: $ x $ 选修了美术课。
- 为真时：全班同学都选修了钢琴课或美术课。
- 为假时：存在至少一个同学既没有选修钢琴课，也没有选修美术课。

2. $ x P(x) x Q(x) $

含义：要么所有 $ x $ 都满足 $ P(x) $，要么所有 $ x $ 都满足 $ Q(x) $。
例子：$ P(x) $: $ x $ 选修了钢琴课；$ Q(x) $: $ x $ 选修了美术课。
- 为真时：全班同学都选修了钢琴课，或全班同学都选修了美术课。
- 为假时：存在至少一个同学没选修钢琴课，并且存在至少一个同学没选修美术课（不一定是同一个人）。

3. $ x (P(x) Q(x)) $

含义：存在某个 $ x $，同时满足 $ P(x) $ 和 $ Q(x) $。
例子：$ P(x) $: $ x $ 选修了钢琴课；$ Q(x) $: $ x $ 选修了美术课。
- 为真时：有一个同学同时选修了钢琴课和美术课。
- 为假时：没有任何同学同时选修钢琴课和美术课。

4. $ x P(x) x Q(x) $

含义：存在一个 $ x $ 满足 $ P(x) $，并且存在一个（可能不同的）$ x $ 满足 $ Q(x) $。
例子：$ P(x) $: $ x $ 选修了钢琴课；$ Q(x) $: $ x $ 选修了美术课。
- 为真时：有同学选修了钢琴课，且有同学选修了美术课（未必是同一个人）。
- 为假时：没有同学选修钢琴课，或没有同学选修美术课。

三、公式之间的关系

$ x (P(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) $
- 左侧：每个 $ x $ 至少满足 $ P(x) $ 或 $ Q(x) $。
- 右侧：要么所有 $ x $ 满足 $ P(x) $，要么所有 $ x $ 满足 $ Q(x) $。
$ x (P(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) $
- 左侧：存在一个 $ x $ 同时满足 $ P(x) $ 和 $ Q(x) $。
- 右侧：存在一个 $ x $ 满足 $ P(x) $，且另一个（或同一个）$ x $ 满足 $ Q(x) $。

关系的取逆

注意关系的取逆是调转两个元素的位置，而不是简单的取补集，这是需要注意的。

在给定的问题中，关系 $ R $ 被定义为 "less than or equal to"（小于或等于）关系，它作用于整数集合 $ $ 上。

关系 $ R $ 的定义：

对于任意的 $ (x, y) $，关系 $ R $ 中有 $ (x, y) R $ 当且仅当 $ x y $（即 $ x $ 小于或等于 $ y ））。

问题： $ R^{-1} $

$ R^{-1} $ 表示关系 $ R $ 的逆关系（或反向关系）。换句话说，$ R^{-1} $ 中的元素是关系 $ R $ 中元素的顺序反转。
如果 $ (x, y) R $，那么 $ (y, x) R^{-1} $。

逆关系 $ R^{-1} $ 的定义：

$ (x, y) R $ 意味着 $ x y $。
那么，$ (y, x) R^{-1} $ 就意味着 $ y x $（即 $ y $ 小于或等于 $ x $）。

结论：

关系 $ R $ 是 "小于或等于"（$ x y $），而 $ R^{-1} $ 是 "大于或等于"（$ y x $）。
因此，$ R^{-1} $ 就是 "大于或等于"（$ $）关系。

最终答案：

$ R^{-1} = $。

关于全序的问题

注意全序就是两两之间一定有一个比较的结果，因为这道题卡了好一会，都快整困了。

一个矩阵表示全序关系时，需要满足以下几个条件：

1. 自反性（Reflexivity）：

对于全序关系中的每一个元素 $a$，都必须有 $a \leq a$。因此，在矩阵的对角线上（即 $i = j$ 的位置），每个元素都应该是 1。

2. 反对称性（Antisymmetry）：

如果 $a \leq b$ 且 $b \leq a$，则 $a = b$。矩阵中，若 $(i, j)$ 和 $(j, i)$ 都为 1，那么 $i = j$。

3. 传递性（Transitivity）：

如果 $a \leq b$ 且 $b \leq c$，则 $a \leq c$。这意味着，如果矩阵中的某一行或列中存在 1（表示某种关系成立），那么根据传递性，矩阵的其他相关位置也应该是 1。

4. 全连接性（Totality）：

对于矩阵中的任意两个不同的元素 $a$ 和 $b$，要么 $a \leq b$，要么 $b \leq a$。换句话说，矩阵中对于任意两个不同的元素 $i$ 和 $j$，要么矩阵中的 $(i, j)$ 为 1，要么 $(j, i)$ 为 1。

全序关系矩阵的特征：

矩阵是自反的，因此对角线上的元素必须为 1。
矩阵是对称的，并且满足传递性（即如果一个元素小于另一个元素，传递关系在矩阵中得以体现）。
矩阵中的所有元素之间必须是可比较的，即任意两个元素 $a$ 和 $b$ 之间都有一个比较关系（要么 $a \leq b$，要么 $b \leq a$）。

示例：

假设我们有一个包含 3 个元素的集合 $ A = {a, b, c} $，矩阵可能如下：

$ \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

这个矩阵表示的关系是：

$a \leq a$，$b \leq b$，$c \leq c$（自反性）。
$a \leq b$，$a \leq c$，$b \leq c$（传递性），且它满足全序性，因为任意两个元素都可以比较。

这样的矩阵表示了一个全序关系。

矩阵路径问题

这是一个很早的一个考点了，这里说明一下

寻找路径为多少的，只需要做多少次矩阵乘法即可。

一个奇怪的考点

立方体

题目：关于 $ H_n $ 超立方体图的性质

1. $ H_n $ 的构造：

$ H_n $ 是一个具有 $ 2^n $ 个顶点的图，顶点的集合为 $ V_n = {0, 1, 2, , 2^n - 1} $。
如果两个顶点 $ i, j V_n $ 的二进制表示仅在一位上不同，则在 $ H_n $ 中有一条边 $(i, j)$。

例如：

当 $ n = 3 $ 时，顶点集合为 $ V_3 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} $，每个数字用 $ n = 3 $ 位二进制表示（如 $ 5 = 101_2 $ 和 $ 7 = 111_2 $）。
$(5, 7)$ 是一条边，因为 $ 101 $ 和 $ 111 $ 只有一位不同。
$(5, 6)$ 不是一条边，因为 $ 101 $ 和 $ 110 $ 有两位不同。

问题分析：

(a) $ H_n $ 有多少条边？

每个顶点的度数：
在 $ H_n $ 中，每个顶点的二进制表示有 $ n $ 位，每个位可以单独翻转，得到一个相邻顶点。因此，每个顶点的度数为 $ n $。
图中的边数：
$ H_n $ 是一个无向图，每条边连接两个顶点。因此，边数为： $ = = = n ^{n-1} $

(b) $ H_n $ 在什么情况下有欧拉回路？

欧拉回路的条件：

一个连通图存在欧拉回路当且仅当所有顶点的度数为偶数。
在 $ H_n $ 中，每个顶点的度数为 $ n $。

因此，$ H_n $ 有欧拉回路当且仅当 $ n $ 是偶数。

$ H_n $ 的边数：
$ = n ^{n-1} $
$ H_n $ 何时有欧拉回路？
当 $ n $ 是偶数时，$ H_n $ 有欧拉回路。

题目大意：

有12个人参加会议，每人至少有6个朋友。这12个人围坐在一张圆桌旁，问题是：是否可以使得每个人的相邻两个人都是他的朋友？

答案：

可以满足题目要求。

解答与理由：

建模：
- 用12个节点代表这12个人。
- 如果两人是朋友，则在对应的节点之间连一条无向边，形成图 $ G $。
- 每个节点的度数 $ d(v) $，表示每个人至少有6个朋友。
应用 Ore 定理：
- Ore 定理：若一个简单图 $ G $ 满足 $|V| = n$ 且对于图中任意两个不相邻顶点 $ u, v $，有 $d(u) + d(v) \geq n$，则图 $ G $ 是一个哈密顿图（Hamiltonian graph）。
- 题目中 $|V| = 12$，每个节点的度数 $ d(v) $。对于任意两个不相邻的节点 $ u $ 和 $ v $，它们的度数和 $ d(u) + d(v) + 6 = 12 $。
- 满足 Ore 定理的条件，因此 $ G $ 是一个哈密顿图。
哈密顿回路的意义：
- 哈密顿图 $ G $ 必然存在一个哈密顿回路（Hamilton circuit），即一条路径经过图中每个顶点恰好一次，并回到起点。
- 因此，在12人围坐成圆桌时，每个人的相邻两人必然是他的朋友，因为哈密顿回路保证了每个节点和相邻节点是直接相连的。

题目大意：

设 $ G $ 是一个无向简单图，具有 $ n $ 个顶点和 $ m $ 条边，且 $ m = (n-1)(n-2) + 2 $。
需要证明：图 $ G $ 是一个哈密顿图（Hamilton graph）。

解答过程：

1. 哈密顿图的条件：

根据 Dirac 定理，如果一个简单图 $ G $ 的顶点数为 $ n $ 且对任意两个不相邻的顶点 $ u, v $，它们的度数之和满足：$ d(u) + d(v) n $ 则 $ G $ 是一个哈密顿图。

本题需要证明 $ G $ 满足上述条件。

2. 反证法：

假设 $ G $ 中存在两个不相邻的顶点 $ u $ 和 $ v $，使得 $ d(u) + d(v) n-1 $。

构造图 $ G_1 $：
- 从 $ G $ 中删除顶点 $ u $ 和 $ v $，以及所有与 $ u $ 或 $ v $ 相连的边，得到一个新的图 $ G_1 $。
- 图 $ G_1 $ 有 $ n-2 $ 个顶点，记剩余的边数为 $ m' $。
计算 $ m' $ 的下界：
- $ G $ 中原有的边数为 $ m = (n-1)(n-2) + 2 $。
- 删除与 $ u $ 和 $ v $ 相连的边时，最多删去 $ d(u) + d(v) $ 条边（最多为 $ n-1 $ 条，因为 $ d(u) + d(v) n-1 $）。
- 因此，剩余的边数满足： $ m' m - (n-1) = (n-1)(n-2) + 2 - (n-1) $ 化简得： $ m' (n-2)(n-3) + 1 $
与简单图的性质矛盾：
- 对于一个具有 $ n-2 $ 个顶点的简单图，其边数最多为 $ (n-2)(n-3) $（这是完全图的边数）。
- 但根据上述计算，$ G_1 $ 的边数 $ m' (n-2)(n-3) + 1 $，比 $ n-2 $ 个顶点的简单图的最大可能边数还多，这与简单图的性质矛盾。
反证结束：
假设不成立，因此 $ G $ 中任意两个不相邻顶点的度数和必须满足： $ d(u) + d(v) n $