CS70Disc07B
CS70Disc 07B
1 Venn Diagram
知识点
- 维恩图（Venn Diagram）：
- 用于展示不同集合之间的关系，特别是在概率和集合论中。
- 概率（Probability）：
- 事件发生的可能性，通常用一个数值（从0到1之间）表示。
- 事件的并集和交集：
- 并集（OR）：两个事件至少发生一个的概率。
- 交集（AND）：两个事件同时发生的概率。
问题及解答
问题描述
在1000名计算机科学学生中：
- 400名属于某个俱乐部（可能同时兼职）。
- 500名兼职（可能同时属于俱乐部）。
- 50名同时属于俱乐部和兼职。
我们需要求解以下问题：
(a) 绘制样本空间和事件的维恩图
- 样本空间 \(\Omega\)：表示所有学生的总数，即1000名学生。
- 事件 \(C\)：表示学生属于俱乐部的事件。
- 事件 \(P\)：表示学生兼职的事件。
维恩图示例：
- 在图中，圈 \(C\) 表示属于俱乐部的学生，圈 \(P\) 表示兼职的学生。
- 圈的重叠部分表示同时属于俱乐部和兼职的学生（即50名学生）。
(b) 学生属于俱乐部的概率
- 使用公式： $ P[C] = = = $
(c) 学生兼职的概率
- 使用公式： $ P[P] = = = $
(d) 学生同时属于俱乐部和兼职的概率
- 使用公式： $ P[P C] = = = $
(e) 学生属于俱乐部或兼职的概率
- 使用并集的概率公式： $ P[P C] = P[P] + P[C] - P[P C] $ 代入之前的计算： $ P[P C] = + - $
- 首先将每个分数通分到20：
- \(\frac{1}{2} = \frac{10}{20}\)
- \(\frac{2}{5} = \frac{8}{20}\)
- 代入公式： $ P[P C] = + - = $
2 Flippin’ Coins
知识点
- 样本空间（Sample Space）：
- 实验中所有可能结果的集合。
- 事件（Event）：
- 样本空间的子集。
- 补集（Complement）：
- 包含样本空间中不属于某事件的所有结果的集合。
- 概率（Probability）：
- 某事件发生的可能性，通常用公式计算。
问题及解答
问题描述
假设我们有一个公平的硬币，结果为正面（H）或反面（T），且正面和反面的概率均为 \(P[H] = \frac{1}{2}\) 和 \(P[T] = \frac{1}{2}\)。我们进行一个实验，抛硬币3次。实验的结果为 \((X_1, X_2, X_3)\)，其中 \(X_i \in \{H, T\}\)。
(a) 实验的样本空间
样本空间 \(\Omega\) 为所有可能的抛硬币结果： $ = {(H,H,H), (H,H,T), (H,T,H), (H,T,T), (T,H,H), (T,H,T), (T,T,H), (T,T,T)} $ 样本空间中总共有 \(2^3 = 8\) 种结果。
(b) 哪些是事件的例子？选择所有适用的。
一个事件必须是样本空间的子集，因此我们检查以下选项：
- 选项 1：\(\{(H,H,T),(H,H),(T)\}\) - 否（因为 \(H,H\) 和 \(T\) 不是完整的结果）
- 选项 2：\(\{(T,H,H),(H,T,H),(H,H,T),(H,H,H)\}\) - 是（子集）
- 选项 3：\(\{(T,T,T)\}\) - 是（单个结果，子集）
- 选项 4：\(\{(T,T,T),(H,H,H)\}\) - 是（子集）
- 选项 5：\(\{(T,H,T),(H,H,T)\}\) - 是（子集）
(c) 事件 \(\{(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,T,T)\}\) 的补集
补集包含所有不属于该事件的结果： $ = {(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H)} $
(d) 事件 \(A\)（结果为0个正面）和事件 \(B\)（结果恰好有2个正面）的并集 \(A \cup B\)
- 事件 \(A\)：\(\{(T,T,T)\}\)
- 事件 \(B\)：\(\{(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H)\}\)
因此： $ A B = {(T,T,T),(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H)} $
(e) 结果 \((H,H,T)\) 的概率
由于 \(|\Omega| = 2^3 = 8\)，且每个结果的概率相等： $ P[(H,H,T)] = $
(f) 恰好有2个正面的结果的概率
感兴趣的事件 \(E\) 为： $ E = {(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H)} $ 该事件的大小为3，所以： $ P[E] = $
(g) 至少有一个正面的结果的概率
如果没有看到至少一个正面，结果必须是完全的三个反面。事件 \(E = \{(T,T,T)\}\) 是没有看到正面的补集。因此： $ E = P[(T,T,T)] = ()^3 = $ 于是，至少有一个正面的事件的概率为： $ P = 1 - P[E] = 1 - = $
3 Sampling
知识点
- 样本空间（Sample Space）：
- 从容器中抽取元素的所有可能结果的集合。
- 事件（Event）：
- 样本空间的子集，表示我们感兴趣的特定结果。
- 概率（Probability）：
- 某事件发生的可能性，通过事件的大小与样本空间大小的比值来计算。
问题及解答
问题描述
假设你有编号为 \(1, 2, \ldots, n\) 的球放在一个咖啡杯里，其中 \(n\) 是一个正整数，且 \(n \geq 2\)。你随机抽取一个球，查看球上的数字，然后将球放回咖啡杯中，再随机抽取一个球。
(a) 第一个球是1且第二个球是2的概率
总共有 \(n^2\) 对球可以选择（因为每次抽取都有 \(n\) 种选择）。我们关注的事件只有一对，即 \((1, 2)\)。因此，该事件的概率为： $ P() = $
(b) 第二个球的数字严格小于第一个球的数字的概率
同样，总共有 \(n^2\) 种可能的结果。我们想要计数第二个球的数字小于第一个球的数字的结果数目。可以将每次结果视为一个有序对 \((n_1, n_2)\)，其中 \(n_1\) 是第一个球的数字，\(n_2\) 是第二个球的数字。
- 选择两个不同的数字 \(x\) 和 \(y\)（假设 \(x > y\)），那么 \(n_1\) 可以是较大的数字，\(n_2\) 为较小的数字。这样，我们可以从 \(n\) 中选择2个数字，然后计算其组合数。
因此，满足 \(n_1 > n_2\) 的可能对数为： $ $ 于是概率为： $ P(n_2 < n_1) = = $ 另一种方法是，考虑两个球有相同数字的概率是 \(\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}\)，所以两个球有不同数字的概率是 \(1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}\)。由于球的数字大小是对称的，第一球大于第二球的概率是 \(\frac{n-1}{n} \div 2 = \frac{n-1}{2n}\)。
(c) 第二个球的数字恰好比第一个球的数字大1的概率
我们仍然有 \(n^2\) 对球可以抽取。感兴趣的对数为 \((1,2), (2,3), \ldots, (n-1,n)\)，这些对的数量为 \(n-1\)。因此，概率为： $ P(n_2 = n_1 + 1) = $
(d) 假设在查看第一个球后不将其放回咖啡杯，而是丢弃它，然后照常抽取第二个球。那么，前面部分的答案是什么？
总共有 \(n(n-1)\) 对球可以选择，因为第一个球被丢弃后只剩下 \(n-1\) 个球。
对于事件“第一个球是1，第二个球是2”，只有对 \((1,2)\) 是满足条件的，所以： $ P() = $
由于两个球的数字相同的事件现在的概率为0，因此至少有一个球数字小于另一个球的概率是 \(\frac{1}{2}\)。
之前感兴趣的对 \((1,2), (2,3), \ldots, (n-1,n)\) 仍然有效。对应的概率为： $ P(n_2 = n_1 + 1) = = $
