CS70 Disc 08A

1 Box of Marbles

知识点

1. 事件（Event）：
   • 事件是指样本空间的一个子集，表示我们感兴趣的特定结果。
2. 条件概率（Conditional Probability）：
   • 给定一个事件 \(A\) 的条件下，另一个事件 \(B\) 发生的概率，记作 \(P(B | A)\)。
3. 贝叶斯定理（Bayes' Theorem）：
   • 用于反向计算条件概率的公式：
     $ P(A | B) = $
4. 全概率公式（Law of Total Probability）：
   • 如果事件 \(B\) 可以通过一组互不相交的事件 \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) 来表示，则有：
     $ P(B) = _{i=1}^n P(B | A_i) P(A_i) $

问题及解答

问题描述

有两个盒子：

• 盒子1包含900个红色弹珠和100个蓝色弹珠。
  
• 盒子2包含500个红色弹珠和500个蓝色弹珠。

(a) 随机选择一个盒子并抽取一个弹珠，抽到蓝色弹珠的概率是多少？

设事件 \(B\) 表示抽到蓝色弹珠，事件 \(A_1\) 表示从盒子1中抽取，事件 \(A_2\) 表示从盒子2中抽取。

根据全概率公式： $ P(B) = P(B | A_1) P(A_1) + P(B | A_2) P(A_2) $

• 从盒子1抽到蓝色弹珠的概率 \(P(B | A_1) = \frac{100}{1000} = 0.1\)。
• 从盒子2抽到蓝色弹珠的概率 \(P(B | A_2) = \frac{500}{1000} = 0.5\)。
• 选择任一盒子的概率 \(P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2}\)。

因此， $ P(B) = 0.1 + 0.5 = 0.05 + 0.25 = 0.3 $

(b) 如果我们看到弹珠是蓝色的，那么它是从盒子1中抽取的概率是多少？

我们需要计算 \(P(A_1 | B)\)。根据贝叶斯定理： $ P(A_1 | B) = $

代入前面的结果：

• \(P(B | A_1) = 0.1\)
• \(P(A_1) = 0.5\)
• \(P(B) = 0.3\)

所以： $ P(A_1 | B) = = = $

(c) 假设从盒子1中抽取一颗弹珠并且没有看到它的颜色，然后再抽取第二颗弹珠。第二颗弹珠是蓝色的概率是多少？

设事件 \(B_1\) 表示第一颗弹珠是蓝色，事件 \(R_1\) 表示第一颗弹珠是红色，事件 \(B_2\) 表示第二颗弹珠是蓝色。我们需要找到 \(P(B_2)\)。

使用全概率公式： $ P(B_2) = P(B_2 | B_1) P(B_1) + P(B_2 | R_1) P(R_1) $

• 从盒子1抽取到第一颗蓝色弹珠的概率 \(P(B_1) = 0.1\)。
• 从盒子1抽取到第一颗红色弹珠的概率 \(P(R_1) = 0.9\)。
• 如果第一颗弹珠是蓝色，第二颗弹珠是蓝色的概率 \(P(B_2 | B_1) = \frac{99}{999}\)（因为剩下999颗弹珠中还有99颗蓝色）。
• 如果第一颗弹珠是红色，第二颗弹珠是蓝色的概率 \(P(B_2 | R_1) = \frac{100}{999}\)（因为剩下999颗弹珠中还有100颗蓝色）。

所以： $ P(B_2) = ( ) + ( ) = = = $

2 Poisoned Smarties

知识点

1. 事件（Event）：
   • 事件是样本空间的一个子集，表示我们感兴趣的特定结果。
2. 条件概率（Conditional Probability）：
   • 在已知事件 \(A\) 发生的条件下，事件 \(B\) 发生的概率，记作 \(P(B | A)\)。
3. 全概率公式（Law of Total Probability）：
   • 如果事件 \(B\) 可以通过一组互不相交的事件 \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) 来表示，则有：
     $ P(B) = _{i=1}^n P(B | A_i) P(A_i) $
4. 贝叶斯定理（Bayes' Theorem）：
   • 用于反向计算条件概率的公式：
     $ P(A | B) = $

问题及解答

问题描述

有三个人经营自己的彩虹糖工厂：

• Burr Kelly 拥有市场的50%份额。
• Yousef See 生产40%的彩虹糖。
• Stan Furd 生产10%的彩虹糖。

最近出现了一系列与彩虹糖相关的食物中毒事件，FDA正在调查这些工厂以找出问题所在。调查发现：

• Kelly的工厂中每100颗彩虹糖中有2颗是有毒的。
• See的工厂中5%的彩虹糖是有毒的。
• Furd的工厂中有10%的彩虹糖是有毒的。

(a) 随机选择一颗彩虹糖，安全食用的概率是多少？

设事件 \(S\) 表示彩虹糖安全可食用，事件 \(BK\) 表示彩虹糖来自Burr Kelly的工厂，事件 \(Y S\) 表示彩虹糖来自Yousef See的工厂，事件 \(SF\) 表示彩虹糖来自Stan Furd的工厂。

根据全概率公式： $ P[S] = P[BK]P[S | BK] + P[Y S]P[S | Y S] + P[SF]P[S | SF] $

代入各事件的概率：

• 从Kelly工厂抽取安全彩虹糖的概率：
  $ P[S | BK] = 1 - P[P | BK] = 1 - 0.02 = $
• 从See工厂抽取安全彩虹糖的概率：
  $ P[S | Y S] = 1 - P[P | Y S] = 1 - 0.05 = $
• 从Furd工厂抽取安全彩虹糖的概率：
  $ P[S | SF] = 1 - P[P | SF] = 1 - 0.1 = $

各工厂的市场份额：

• \(P[BK] = 0.5\)
• \(P[Y S] = 0.4\)
• \(P[SF] = 0.1\)

因此，计算如下： $ P[S] = 0.5 + 0.4 + 0.1 $ $ = + + = = = 0.96 $

因此，随机选择的彩虹糖安全可食用的概率是 0.96。

(b) 如果知道某颗彩虹糖不是来自Burr Kelly的工厂，那么这颗彩虹糖是有毒的概率是多少？

我们需要计算 \(P[P | BK^c]\)，即在未来自Kelly工厂的情况下彩虹糖有毒的概率。

根据全概率公式： $ P[P | BK^c] = + $

已知：

• \(P[BK^c] = 1 - P[BK] = 1 - 0.5 = 0.5\)
• \(P[P | Y S] = 0.05\)，因此
  $ P[Y S P] = P[P | Y S] P[Y S] = 0.05 = 0.02 $
• \(P[P | SF] = 0.1\)，因此
  $ P[SF P] = P[P | SF] P[SF] = 0.1 = 0.01 $

将这些值代入： $ P[P | BK^c] = + = 0.04 + 0.02 = 0.06 $

因此，如果知道彩虹糖不是来自Burr Kelly的工厂，则它是有毒的概率是 0.06。

(c) 已知随机选择的彩虹糖是有毒的，来自Stan Furd工厂的概率是多少？

我们需要计算 \(P[SF | P]\)。根据贝叶斯定理： $ P[SF | P] = $

在(a)部分，我们已经计算出 \(P[P] = 1 - P[S] = 1 - 0.96 = 0.04\)。

因此： $ P[SF | P] = = $ $ = = = 0.25 $

因此，随机选择的有毒彩虹糖来自Stan Furd工厂的概率是 0.25。

3 Pairwise Independence

概念

成对独立性：如果对于所有 \(i \neq j\)，事件 \(A_i\) 和 \(A_j\) 独立，那么事件 \(A_1\)，\(A_2\)，和 \(A_3\) 是成对独立的。成对独立性是一个较弱的条件，而互斥独立性则要求满足 \(P[A_1 \cap A_2 \cap A_3] = P[A_1]P[A_2]P[A_3]\)。

问题背景

我们掷两个公平的六面骰子，定义以下事件：

• \(A_1\)：第一个骰子点数为1。
• \(A_2\)：第二个骰子点数为6。
• \(A_3\)：两个骰子的点数和为7。

(a) 计算 \(P[A_1]\)，\(P[A_2]\) 和 \(P[A_3]\)

• 计算 \(P[A_1]\)： $ P[A_1] = $ 由于掷骰子得到特定数字（1）的概率为 $ $。

• 计算 \(P[A_2]\)： $ P[A_2] = $ 同理，掷骰子得到特定数字（6）的概率为 $ $。

• 计算 \(P[A_3]\)： 和为7的组合为 {(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}，总共有6种组合，所以： $ P[A_3] = = $

(b) 检查 \(A_1\) 和 \(A_2\) 是否独立

要验证 \(A_1\) 和 \(A_2\) 是否独立，我们需要检查： $ P[A_1 A_2] = P[A_1]P[A_2] $

• 计算 \(P[A_1 \cap A_2]\)： 只有一个结果符合 \(A_1\) 和 \(A_2\)，即第一个骰子为1，第二个骰子为6： $ P[A_1 A_2] = $
• 计算 \(P[A_1]P[A_2]\)： $ P[A_1]P[A_2] = = $
• 因此，\(A_1\) 和 \(A_2\) 是独立的。

(c) 检查 \(A_2\) 和 \(A_3\) 是否独立

检查： $ P[A_2 A_3] = P[A_2]P[A_3] $

• 计算 \(P[A_2 \cap A_3]\)： 只有在第二个骰子为6的情况下，且两个骰子和为7时，第一骰子只能为1： $ P[A_2 A_3] = $
• 计算 \(P[A_2]P[A_3]\)： $ P[A_2]P[A_3] = = $
• 因此，\(A_2\) 和 \(A_3\) 也是独立的。

(d) 检查 \(A_1\)，\(A_2\)，和 \(A_3\) 是否成对独立

我们已知 \(A_1\) 和 \(A_2\) 以及 \(A_2\) 和 \(A_3\) 是独立的，现在我们需要检查 \(A_1\) 和 \(A_3\) 的独立性。

• 计算 \(P[A_1 \cap A_3]\)： 第一骰子为1，第二骰子为6的唯一组合为（1,6）： $ P[A_1 A_3] = $
• 计算 \(P[A_1]P[A_3]\)： $ P[A_1]P[A_3] = = $
• 因此，所有事件 \(A_1\)，\(A_2\) 和 \(A_3\) 成对独立。

(e) 检查 \(A_1\)，\(A_2\)，和 \(A_3\) 是否互相独立

检查： $ P[A_1 A_2 A_3] = P[A_1]P[A_2]P[A_3] $

• 计算 \(P[A_1 \cap A_2 \cap A_3]\)： 只有当第一个骰子为1，第二个骰子为6时，两个骰子和为7： $ P[A_1 A_2 A_3] = $
• 计算 \(P[A_1]P[A_2]P[A_3]\)： $ P[A_1]P[A_2]P[A_3] = = $
• 由于 $ $，因此这些事件不是互相独立的。

总结

• \(A_1\) 和 \(A_2\) 独立。
• \(A_2\) 和 \(A_3\) 独立。
• \(A_1\) 和 \(A_3\) 独立。
• \(A_1\)，\(A_2\)，和 \(A_3\) 成对独立。
• \(A_1\)，\(A_2\)，和 \(A_3\) 不是互相独立。