CS70 Disc 09A

1 Head Count

考虑一个硬币，$ P[] = $。假设你将这个硬币掷 $ 20 $ 次，定义 $ X $ 为正面的数量。

(a) $ P[X = k] $ 的计算

对于某个 $ 0 k $，$ P[X = k] $ 的计算如下：

选择 $ k $ 次正面的方法有： $ $
选中 $ k $ 次为正面的概率是： $ ()^k $
剩余 $ 20 - k $ 次为反面的概率是： $ ()^{20-k} $
综合以上信息，得到 $ P[X = k] $：$ P[X = k] = ()^k ()^{20-k} $

(b) $ X $ 的分布及其参数

由于我们进行 $ 20 $ 次独立试验，每次试验成功的概率为 $ $，因此 $ X $ 服从二项分布： $ X (n=20, p=) $

(c) 计算 $ P[X ] $

我们可以通过计算 $ P[X = 0] $ 来求得 $ P[X ] $，利用以下公式：$ P[X ] = 1 - P[X = 0] $

计算 $ P[X = 0] $：

令 $ k = 0 $，得到：$ P[X = 0] = ()^0 ()^{20} = 1 ()^{20} $

因此： $ P[X ] = 1 - ()^{20} $

(d) 计算 $ P[12 X ] $

计算 $ P[12 X ] $ 包括三个部分： $ P[12 X ] = P[X = 12] + P[X = 13] + P[X = 14] $

具体计算：

计算 $ P[X = 12] $：$ P[X = 12] = ()^{12} ()^{8} $
计算 $ P[X = 13] $：$ P[X = 13] = ()^{13} ()^{7} $
计算 $ P[X = 14] $：$ P[X = 14] = ()^{14} ()^{6} $

综合得： $ P[12 X ] = ()^{12} ()^{8} + ()^{13} ()^{7} + ()^{14} ()^{6} $

2 Family Planning

约翰逊夫妇决定继续生育孩子，直到他们生下第一个女孩或生育三个孩子为止。假设每个孩子生男孩或女孩的概率相等，且彼此独立，且没有多胞胎。令 $ G $ 表示约翰逊夫妇的女孩数量，$ C $ 表示他们的孩子总数。

(a) 确定样本空间及每个样本点的概率

样本空间是约翰逊夫妇可以生育的所有可能孩子序列： $ = { g, bg, bbg, bbb } $ 其中：

$ g $: 第一个孩子是女孩
$ bg $: 第一个孩子是男孩，第二个孩子是女孩
$ bbg $: 前两个孩子是男孩，第三个孩子是女孩
$ bbb $: 所有三个孩子都是男孩

每个样本点的概率计算如下：

$ P[g] = $
$ P[bg] = = $
$ P[bbg] = ()^3 = $
$ P[bbb] = ()^3 = $

(b) 计算 $ G $ 和 $ C $ 的联合分布

填写联合分布表：

$ \[\begin{array}{c|c|c|c} & C = 1 & C = 2 & C = 3 \\ \hline G = 0 & 0 & 0 & P[bbb] = \frac{1}{8} \\ G = 1 & P[g] = \frac{1}{2} & P[bg] = \frac{1}{4} & P[bbg] = \frac{1}{8} \\ \end{array}\]

具体说明：

$ G = 0 $ 代表没有女孩，仅在 $ C = 3 $ 时可能，即三孩均为男孩的情况。
$ G = 1 $ 包括：
- $ C = 1 $: 直接生第一个孩子为女孩。
- $ C = 2 $: 第一个孩子为男孩，第二个孩子为女孩。
- $ C = 3 $: 前两个孩子为男孩，第三个孩子为女孩。

(c) 使用联合分布计算边际分布

边际分布 $ G $ 的计算：

$ P[G = 0] = 0 + 0 + = $
$ P[G = 1] = + + = $

边际分布 $ C $ 的计算：

$ P[C = 1] = 0 + = $
$ P[C = 2] = 0 + = $
$ P[C = 3] = + = $

(d) $ G $ 和 $ C $ 是否独立？

不，$ G $ 和 $ C $ 不是独立的。如果两个随机变量是独立的，则有： $ P[X = x, Y = y] = P[X = x] P[Y = y] $ 要证明它们不独立，可以考虑联合分布表中的一个条目，例如 $ P[G = 0, C = 3] = $。

计算： $ P[G = 0] = , P[C = 3] = $ 因此： $ P[G = 0] P[C = 3] = = $ 因为 $ $，所以 $ G $ 和 $ C $ 不是独立的。

(e) 约翰逊夫妇的预期女孩数量和预期孩子数量

**计算预期女孩数量 $ E[G] $：**$ E[G] = 0 P[G = 0] + 1 P[G = 1] = 0 + 1 = $

**计算预期孩子数量 $ E[C] $：**$ E[C] = 1 P[C = 1] + 2 P[C = 2] + 3 P[C = 3] $ $ E[C] = 1 + 2 + 3 = + + = $

3 Pullout Ball

假设你有一个袋子，里面有四个编号为 1、2、3、4 的球。

(a) 计算单个球的预期值

定义随机变量 $ X $ 为你抽取的球的编号。由于每个球被抽取的概率相同，因此每个球的抽取概率为 $ $。

**计算预期值 $ E[X] $：**$ E[X] = x P[X = x] $ 具体计算如下： $ E[X] = 1 + 2 + 3 + 4 $ $ = + + + $ $ = = = 2.5 $

解释： 预期值 $ E[X] $ 并不一定是随机变量 $ X $ 可能的实际值（在本例中，没有结果 $ $ 使得 $ X() = 2.5 $）。

(b) 计算两个球的编号乘积的预期值

定义随机变量 $ Y $ 为你抽取的两个球的编号的乘积。我们需要计算 $ E[Y] $。

计算 $ E[Y] $：

首先列出所有可能的球对及其乘积：

(1, 2) → $ 1 = 2 $
(1, 3) → $ 1 = 3 $
(1, 4) → $ 1 = 4 $
(2, 3) → $ 2 = 6 $
(2, 4) → $ 2 = 8 $
(3, 4) → $ 3 = 12 $

共有 6 种组合。由于任意两个球被抽取的概率相同，每种组合的概率为 $ $。

因此，预期值 $ E[Y] $ 可以计算如下： $ E[Y] = (1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 ) $ $ = (2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12) $ $ = (35) = $