CS70 Disc 12A

1 Continuous Intro

连续概率分布基础

概率密度函数（PDF）：描述随机变量在某个取值区间内的概率密度。有效的PDF必须满足：
- 非负性：$ f(x) $ 对所有 $ x $ 都成立。
- 归一性：整体积分为1，即 $ _{-}^{+} f(x) , dx = 1 $。
累积分布函数（CDF）：描述随机变量小于等于某个值的概率。有效的CDF必须满足：
- 单调非减性：随着 $ x $ 的增加，CDF不减小。
- 边界条件：当 $ x $ 趋向于负无穷时，CDF趋向于0；当 $ x $ 趋向于正无穷时，CDF趋向于1。

问题分析

(a) 检查密度函数与CDF

给定的函数： $ f(x) =
\[\begin{cases} 2x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\]
$
密度函数的有效性：
- 非负性：在区间 $ [0, 1] $ 内，$ f(x) = 2x $，在其他地方 $ f(x) = 0 $。
- 归一性： $ {-}^{+} f(x) , dx = {0}^{1} 2x , dx = [x^2]_{0}^{1} = 1 $ 因此，这是一个有效的密度函数。
CDF的有效性： $ F(x) =
\[\begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}\]
$ CDF不满足边界条件（当 $ x +$ 时，应该趋向于1），因此它不是一个有效的CDF。

(b) 计算CDF，PDF，期望值与方差

给定CDF： $ F_X(x) =
\[\begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \frac{x}{\ell}, & 0 < x < \ell \\ 1, & x \geq \ell \end{cases}\]
$
PDF的计算： $ f_X(x) = F_X(x) =
\[\begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \frac{1}{\ell}, & 0 < x < \ell \\ 0, & x \geq \ell \end{cases}\]
$
**期望值 $ E[X] $**：$ E[X] = {0}^{} x f_X(x) , dx = {0}^{} x , dx = _{0}^{} = $
**计算 $ E[X^2] $**：$ E[X^2] = {0}^{} x^2 f_X(x) , dx = {0}^{} x^2 , dx = _{0}^{} = $
**方差 $ Var(X) $**：$ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = - ()^2 = - = $ 这个分布被称为在区间 $[0, \ell]$ 上的连续均匀分布，记为 $ [0, ] $。

(c) 联合分布

给定独立随机变量的密度函数： $ f_X(x) =
\[\begin{cases} 2x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\]
$ $ f_Y(y) =
\[\begin{cases} 1, & 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\]
$
联合密度函数：由于 $ X $ 和 $ Y $ 是独立的，其联合分布为： $ f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y) = (2x) (1) = 2x [0, 1] $

(d) 计算 $ E[XY] $

计算： $ E[XY] = {0}^{1} {0}^{1} xy f_{X,Y}(x,y) , dy , dx = {0}^{1} {0}^{1} xy 2x , dy , dx $ 计算内层积分： $ = {0}^{1} 2x^2 ( {0}^{1} y , dy ) dx = {0}^{1} 2x^2 dx = {0}^{1} x^2 , dx = _{0}^{1} = $
替代方法（利用独立性）： $ E[XY] = E[X]E[Y] $
- 计算 $ E[X] $:$ E[X] = {0}^{1} x 2x , dx = 2 {0}^{1} x^2 , dx = 2 = $
- 计算 $ E[Y] $:$ E[Y] = {0}^{1} y , dy = {0}^{1} = $
- 最终： $ E[XY] = E[X]E[Y] = = $

2 Darts Again

爱德华和卡里尔在一个半径为10英寸的圆形飞镖板上进行投掷。

爱德华的投掷是均匀分布在整个飞镖板上。
卡里尔的投掷距离飞镖板中心的距离服从参数为 $ $ 的指数分布。

设 $ X $ 为爱德华的飞镖距离中心的距离，$ Y $ 为卡里尔的飞镖距离中心的距离。我们需要计算 $ P[X < Y] $，即爱德华的投掷比卡里尔的投掷离中心更近的概率。

1. 计算 $ X $ 的累积分布函数 (CDF)

为了计算 $ P[X < x] $，我们需要先求出 $ X $ 的CDF。可以通过计算面积的比率来得到：

$ P[X < x] = = = $

对于 $ x (0, 10) $：
- $ P[X < x] = $
对于 $ x < 0 $：
- $ P[X < x] = 0 $
对于 $ x > 10 $：
- $ P[X < x] = 1 $

2. 计算 $ X $ 的概率密度函数 (PDF)

对CDF进行求导得到 $ X $ 的PDF：

$ f_X(x) = P[X < x] = = , 0 < x < 10 $

其他地方的PDF为0。

3. 计算 $ P[X < Y] $

接下来，我们使用全概率公式来计算 $ P[X < Y] $：

$ P[X < Y] = _0^{10} P[Y > x | X = x] f_X(x) , dx $

已知 $ Y $ 服从参数为 $ $ 的指数分布，因此其CDF为：

$ P[Y x] = 1 - e^{-x} P[Y > x] = e^{-x} $

将其代入上述公式中：

$ P[X < Y] = _0^{10} e^{-x} , dx $

4. 计算积分

这个积分可以通过数值计算或特定的积分方法得到。最终结果为：

$ P[X < Y] $

5. 解释积分的结构

该积分表达了条件概率的全概率法则。在离散情况下，我们可以写作：

$ P[X < Y] = P[X = x] P[Y > x] $

而在连续情况下则采用积分形式。

6. 替代计算方法

另一种计算 $ X $ 的PDF的方法是注意到PDF对应于落在半径 $ x $ 的点的可能性。由于与半径相关，PDF应该是线性的，即：

$ f_X(x) = cx, 0 < x < 10 $

为了使PDF积分为1，需满足：

$ _0^{10} cx , dx = 1 50c = 1 c = $

7. 另一种积分设置

如果条件在 $ Y $ 上而不是 $ X $，则可将积分拆分成两部分：

$ P[X < Y] = 0^{10} P[X < Y | Y = y] f_Y(y) , dy + {10}^{} P[X < Y | Y = y] f_Y(y) , dy $

这导致了更复杂的表达式，但有助于深入理解条件概率的应用。

3 Lunch Meeting

爱丽丝和鲍勃约定在中午12点到1点之间的某个时间在他们最喜欢的寿司餐厅见面。由于他们非常忙碌，无法准确指定到达时间，因此他们只能说，每个人将在均匀分布的时间内到达。

为了避免浪费时间，他们约定如果另一方未到达，他们会等待15分钟后再离开。

1. (a) 联合分布的可视化

设随机变量 $ A $ 表示爱丽丝到达的时间，随机变量 $ B $ 表示鲍勃到达的时间。由于 $ A $ 和 $ B $ 都是均匀分布的，我们可以通过绘制联合概率分布的图形来帮助可视化。

1.1 绘制图形

坐标轴：横轴表示爱丽丝到达的时间 $ A $，范围从0到1（表示12:00 PM到1:00 PM），纵轴表示鲍勃到达的时间 $ B $，同样范围从0到1。
区域：整个单位正方形（边长为1）表示所有可能的到达时间组合 $(a, b)$。

1.2 实际见面的区域

在这个正方形中，爱丽丝和鲍勃会见面的区域为：

$ |A - B| $
具体来说，如果爱丽丝在时间 $ A $ 到达，那么鲍勃的到达时间 $ B $ 必须在 $ [A - , A + ] $ 范围内。

2. (b) 计算相遇的概率

由于正方形的每一点都是同样可能的，我们可以通过计算相遇区域的面积来确定他们见面的概率。

2.1 计算相遇区域的面积

总面积：
- 整个正方形的面积为 $ 1 $（边长为1）。
相遇区域的计算：
- 相遇区域的上下边界为 $ A + $ 和 $ A - $，因此可以确定两个白色三角形的面积。
白色三角形的面积：
- 在正方形的左上角和右下角形成的两个白色三角形的面积分别为： $ = = ( ) ( ) = $
相遇区域的面积：
- 相遇区域的面积为正方形的面积减去两个白色三角形的面积： $ = 1 - 2 = 1 - = $

2.2 计算相遇概率

因此，爱丽丝和鲍勃实际见面的概率为： $ P() = = $