Chapter 9 Arithmetic(2)

这一章是很难的，不过我打的就是精锐。😎

Contents of This Lecture

Topic (主题) Description (描述)
Addition of 1-bit Positive Numbers (1位正数相加) Adding two 1-bit positive numbers.
Addition of n-bit Signed Numbers (n位带符号数相加) Adding two n-bit signed numbers (both positive and negative). The process involves considering the sign bit and performing carry operations for the sum.
Subtraction of n-bit Signed Numbers (n位带符号数相减) Subtracting two n-bit signed numbers, which can be done using two's complement or other methods depending on the representation (signed-magnitude, one's complement, etc.).

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n位带符号数相加

n位带符号数相加的规则（在二进制补码表示下）

  • 为了将两个数相加，直接将它们的n位二进制表示相加，并且将符号位（最高位）视为普通的比特位，忽略来自符号位的进位。
  • 只要结果位于范围 \(-2^{n-1}\) 到 \(+2^{n-1} - 1\) 之间，二进制补码表示的和是代数正确的。

4位带符号数相加的例子

  • 参考教材第14页图1.6 (a)-(d)进行操作。
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4位带符号数相加的例子

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算术溢出 (Arithmetic Overflow)

  • 溢出定义： 算术运算的结果超出了可表示的范围。对于有符号数来说，溢出通常发生在结果超出了其表示范围，导致无法准确表示。
  • 充要条件： 如果两个数相加，它们有相同的符号，则当且仅当结果的符号与两个加数都相反时，才会发生溢出。
    • 具体来说：
      • 如果两个加数都是正数，且结果是负数，则发生溢出。
      • 如果两个加数都是负数，且结果是正数，则也发生溢出。

• 注意：

  • 符号位的进位信号不能作为溢出的充分指标： 在加法操作中，符号位的进位信号（Carry-out）并不是判断溢出的充分条件。溢出可以发生，且无论是否有进位信号，都可能发生溢出。
    • 换句话说，溢出不仅仅是通过检查符号位的进位信号来判断的，因为即使没有进位信号，溢出仍然可能发生。

n 位有符号数的减法

• n 位有符号数的减法规则（在有符号 2 的补码表示下）

  • 减法规则：
    要计算两个数 $ X $ 和 $ Y $ 的差，即 $ X - Y $，首先求 $ Y $ 的 2 的补码，然后将其加到 $ X $ 上，按照加法规则执行。

  • 结果的正确性：
    如果结果在 $ -2^{n-1} $ 到 $ +2^{n-1} - 1 $ 的范围内，结果将是 2 的补码表示系统中的代数正确值。

  • 减法的本质：
    $ X - Y = X + (-Y) $，即可以通过将 $ Y $ 取 2 的补码后与 $ X $ 相加来进行减法。

• 2 的补码操作（取负操作）

  • 步骤：
    1. 对整数的每一位（包括符号位）取布尔反码，即将每个 1 变为 0，每个 0 变为 1。
    2. 将反码结果视为无符号二进制数，加 1。
  • 示例：
    • 假设 $ Y = 6 $，其 2 的补码表示为 $ 0110 $，求 $ -Y $ 的 2 的补码表示。
    • 解：
      • $ Y = 0110 $，取反得到 $ 1001 $，然后加 1，得到 $ 1010 $，即 $ -Y = 1010 $。

• 4 位有符号数的减法示例

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• 4 位有符号数减法（续）

  • 结论：
    • 图 1.6（第 14 页）中的示例表明，两个 n 位的有符号数可以通过 n 位二进制加法来相加，并且符号位和其他位一样处理。
    • 换句话说，设计用于加法无符号二进制数的逻辑电路，也可以用来加法处理 2 的补码表示的有符号数。

• 溢出示例

  • 问题：
    $ X = 6, Y = -7 $，求 $ X - Y $ 的结果。

    • 解：
      • $ X = 6 = 0110 $
      • $ Y = -7 = 1001 $
      • $ -Y = 0111 $（取反并加 1）

    运算如下：

    1
    2
    3
    4
    0 1 1 0    (X = 6)
    + 0 1 1 1  (-Y = 7)
    -----------
      1 1 0 1  = -3 (溢出)

    结果为 -3，发生了溢出（overflow）。

习题

• 假设 $ X $ 和 $ Y $ 是两个 8 位有符号 2 的补码数，分别为 01011110 和 11001010。计算 $ X + Y $ 的结果是什么？

  • 选项：
    • A. 00101000
    • B. 10010100
    • C. 01000100
    • D. 00011100

• 假设 $ X $ 和 $ Y $ 是两个 8 位有符号 2 的补码数，分别为 01011110 和 11001010。计算 $ X - Y $ 的结果是什么？

  • 选项：
    • A. 00101000
    • B. 10010100
    • C. 01000100
    • D. 溢出 (overflow)

• 判断对错：在 2 的补码二进制算术中，从一个负整数中减去另一个负整数可能会导致溢出。

解答与分析

第一题：$ X + Y $ 的结果

  1. $ X = 01011110 $，转换为十进制是 $ 94 $。
  2. $ Y = 11001010 $，转换为十进制是 $ -54 $（因为符号位是 1，表示负数）。

计算 $ X + Y = 94 + (-54) = 40 $，然后将结果转回 8 位二进制，得 $ 00101000 $。

所以，正确答案是 A. 00101000。

第二题：$ X - Y $ 的结果

  1. 我们已经知道 $ X = 94 $ 和 $ Y = -54 $。
  2. $ X - Y = 94 - (-54) = 94 + 54 = 148 $。

将 148 转换为 8 位二进制表示，得到 $ 10010100 $。

第三题：从一个负整数中减去另一个负整数可能会导致溢出？

因此，这个说法是错误的，从一个负整数中减去另一个负整数不可能发生溢出。