Lec1 The Foundations: Logic and Proofs

由于离散数学PPT过于杂乱，这里只取重点的进行记录，如果是比较细枝末节的，本篇不会记录。

命题与非命题的区分

定义
命题是一个陈述句，它具有确定的真假值（要么为真，要么为假）。以下总结了常见命题与非命题的区分标准及例子。

命题（Propositions）

  • 特征：
    • 表达一个明确的事实，且能够判断真假。
    • 命题可以是简单的（单一事实）或复合的（由逻辑连接词连接）。
  • 例子：
    1. “正在下雨。”（这句话在特定情况下可以判断为真或假。）
      • 如果外面确实在下雨，则为真；否则为假。
    2. “北京是中国的首都，并且 \(1 + 2 = 3\)。”
      • 这是一个复合命题，由两个子命题组成：
        • “北京是中国的首都”是真命题。
        • “\(1 + 2 = 3\)”是真命题。

非命题（Not Propositions）

  • 特征：
    • 不具有明确的真假值，因此不属于命题。
    • 包括疑问句、规则或方程、表达式、命令等。
  • 例子：
    1. 疑问句：
      “谁在那里？”
      • 这是一个提问，无法判定真假。
    2. 规则或方程：
      “\(x = y + 1\)”
      • 它描述的是一个关系或规则，但其中变量未被具体化，因此没有真假值。
    3. 表达式：
      “\(1 + 2\)”
      • 这是一个数学项（term），仅表示一个值，没有真假性。

总结对比

类型 例子 是否命题 原因
陈述句（事实） “北京是中国的首都。” 是 可以判断为真。
数学真理 “\(1 + 2 = 3\)” 是 可以判断为真。
疑问句 “谁在那里？” 否 无法判定真假。
方程（变量未指定） “\(x = y + 1\)” 否 无具体值，无法判断真假。
表达式 “\(1 + 2\)” 否 表达一个值，不是陈述句。

思考小结

  • 命题是逻辑推理的基础。
  • 判断某一句话是否为命题时，关键在于其能否明确判定为真或假。

条件命题 $ p q $ 的逻辑性质

定义与符号

  • 条件命题：$ p q $ 表示“如果 $ p $，那么 $ q $”。
    • 前件 $ p $：条件（if）。
    • 后件 $ q $：结论（then）。

真假判定规则

条件命题 $ p q $ 的真假取决于 $ p $ 和 $ q $ 的真假值。

  • 真值表：
$ p \(** | **\) q \(** | **\) p q $
真 (T) 真 (T) 真 (T)
真 (T) 假 (F) 假 (F)
假 (F) 真 (T) 真 (T)
假 (F) 假 (F) 真 (T)
  • 条件命题唯一为假的情况：
    当$ p $ 为真，但$ q $ 为假时，$ p q $ 为假。
    （即：前件成立但后件不成立时违背逻辑。）

常见误解澄清

  1. $ p q $ 并不意味着 $ p $ 导致 $ q $：
    • 条件命题只表明一种逻辑关系，而非因果关系。
    • 例子：
      • “如果今天下雨，那么我会带伞。”
      • 并不能说明“下雨”是“带伞”的原因，而是条件与结果的逻辑关系。
  2. $ p q $ 不要求 $ p $ 或 $ q $ 必须为真：
    • 只要满足真值表中的规则，$ p $ 和 $ q $ 可以是任何真假组合。
    • 例子：
      • “如果天是绿色的，那么猪会飞。”
      • $ p \(（天是绿色的）为假，\) q $（猪会飞）为假，但 $ p q $ 仍为真。

思考示例

  • 假设 $ p \(: “我是学生”，\) q \(: “我会学习”。 1. 如果我真的是学生（\) p $ 为真），但我不学习（$ q $ 为假），则 $ p q $ 为假。
    1. 如果我不是学生（$ p $ 为假），无论我是否学习（$ q $ 为真或假），$ p q $ 都为真。

条件命题 $ p q $ 的相关术语及等价性证明

条件命题的相关术语

  1. 原命题（Implication）：
    $ p q $
    含义：如果 $ p $，那么 $ q $。

  2. 逆命题（Converse）：
    $ q p $
    含义：如果 $ q $，那么 $ p $。

  3. 反命题（Inverse）：
    $ p q $
    含义：如果 $ p $ 不成立，那么 $ q $ 也不成立。

  4. 逆反命题（Contrapositive）：
    $ q p $
    含义：如果 $ q $ 不成立，那么 $ p $ 也不成立。

总结

命题类型 符号 是否等价于 $ p q $ 说明
原命题（Implication） $ p q $ 是 本身定义。
逆命题（Converse） $ q p $ 否 真值可能不同。
反命题（Inverse） $ p q $ 否 真值可能不同。
逆反命题（Contrapositive） $ q p $ 是 真值总是相同（逻辑等价）。

关键结论：

  • $ p q $ 等价于 $ q p $。
  • 逆命题和反命题通常不等价于原命题，但可以在推理中帮助理解逻辑关系。

双向条件命题及其等价性

双向条件命题 $ p q $ 的定义

  • 双向条件命题 $ p q $ 表示“$ p $ 当且仅当 $ q $”，即 $ p $ 和 $ q $ 互为真或互为假。
    • 公式表示为：
      $ p q (p q) (q p) $
    • 也可以理解为：$ p $ 与 $ q $ 同时为真或同时为假，二者之间是相互依赖的。

推理详细步骤

第一步：转换为条件命题

  • 双向条件命题 $ p q $ 可以分解为两个条件命题： $ p q (p q) (q p) $ 这里，$ p q $ 和 $ q p $ 分别表示：

    • $ p q $：如果 $ p $ 为真，则 $ q $ 必须为真。
    • $ q p $：如果 $ q $ 为真，则 $ p $ 必须为真。

    这意味着双向条件命题要求 $ p $ 和 $ q $ 在逻辑上是等价的，它们要么都为真，要么都为假。

第二步：转换为析取形式

  • 我们可以将条件命题 $ p q $ 和 $ q p $ 进一步转换为析取形式：

    • $ p q $ 等价于 $ p q $，即“如果 $ p $ 为假，或者 $ q $ 为真”。
    • $ q p $ 等价于 $ q p $，即“如果 $ q $ 为假，或者 $ p $ 为真”。

    因此，双向条件命题 $ (p q) (q p) $ 可以写成： $ (p q) (q p) (p q) (q p) $

第三步：分析真值

  • 对于表达式 $ (p q) (q p) $，我们来分析它的真值：

    • 如果 $ p = q $（即 $ p $ 和 $ q $ 同时为真或同时为假）：
      • 如果 $ p $ 和 $ q $ 都为真，则 $ p q $ 和 $ q p $ 都为真，因此整个表达式为真。
      • 如果 $ p $ 和 $ q $ 都为假，则 $ p q $ 和 $ q p $ 都为真，因此整个表达式也为真。
    • 如果 $ p q $（即 $ p $ 和 $ q $ 的真假不同）：
      • 如果 $ p = , q = $，则 $ p q $ 为假，$ q p $ 为真，所以整个表达式为假。
      • 如果 $ p = , q = $，则 $ p q $ 为真，$ q p $ 为假，所以整个表达式为假。

    因此，$ (p q) (q p) $ 的真值与 $ p q $ 相同，只有当 $ p $ 和 $ q $ 相等时，整个表达式为真；当 $ p $ 和 $ q $ 不相等时，整个表达式为假。

第四步：结论

  • 所以，表达式 $ (p q) (q p) $ 与双向条件命题 $ p q $ 是等价的。
    这意味着我们可以用 $ (p q) (q p) $ 来表示 $ p q $。

命题逻辑推理过程1：

题目描述

给定以下命题：

  • $ p $：他是计算机系本科生
  • $ q $：他是计算机系研究生
  • $ r $：他学过DELPHI语言
  • $ s $：他学过C++语言
  • $ t $：他会编程序

前提：

  1. \((p \lor q) \rightarrow (r \land s)\)：如果他是计算机系本科生或研究生，那么他一定学过DELPHI语言并且学过C++语言。
  2. \((r \lor s) \rightarrow t\)：如果他学过DELPHI语言或者学过C++语言，那么他会编程序。

结论： $ p t $：如果他是计算机系本科生，那么他会编程序。

推理过程（详细步骤）

目标： 证明 $ p t $ 这一结论。

步骤一：
假设 $ p $ 为真（即他是计算机系本科生），我们需要证明 $ t $ 为真（即他会编程序）。

步骤二：
根据 $ p $ 为真，得出 $ p q $ 也为真。即： $ p q $

步骤三：
根据前提 1 \((p \lor q) \rightarrow (r \land s)\)，由 $ p q $ 为真，推得： $ r s $ 即：他学过DELPHI语言并且学过C++语言。

步骤四：
从 $ r s $ 中可以得出 $ r $ 为真，表示他学过DELPHI语言。进一步，得到： $ r r s $

步骤五：
根据 $ r $ 为真，得出 $ r s $ 也为真，因为 $ r $ 为真，\(\lor\) 连接式中的任意一部分为真即可。 $ r s $ 即：他学过DELPHI语言或者学过C++语言。

步骤六：
根据前提 2 \((r \lor s) \rightarrow t\)，由 $ r s $ 为真，推得： $ t $ 即：他会编程序。

结论：
由上述推理步骤，我们可以得出 $ p t $，即如果他是计算机系本科生，那么他会编程序。

命题逻辑推理过程

我们要证明以下等式：

$ p q p q $

推理步骤

  1. 双向条件命题的对称性： $ p q p q $

  2. 逆命题表示： $ p q (p q) (q p) $

  3. 条件命题转换为析取形式： $ (p q) (q p) (p q) (q p) $ $ (p q) (q p) $

  4. 析取形式等价于条件命题： $ (p q) (q p) (q p) (p q) $

  5. 条件命题等价于双向条件命题： $ (q p) (p q) p q $

总结：

通过逐步推理，得出了以下等式的等价性： $ p q p q $

命题逻辑推理过程2：

  1. 命题等式的等价性： $ p q (p q) (p q) $

  2. 双向条件命题转换： $ p q (p q) (q p) $

  3. 条件命题转换为析取形式： $ (p q) (q p) (p q) (q p) $

  4. 展开形式： $ (p q) (q p) ((p q) q) ((p q) p) $

  5. 进一步化简： $ ((p q) q) ((p q) p) (p q) (q q) (p p) (q p) $

  6. 去除恒假命题： $ (p q) F F (q p) (q p) (p q) $

结论：

$ p q (q p) (p q) $

命题逻辑的理解1：

我们有以下命题：

$ x y z ( (F(x, y) F(x, z) (y z)) F(y, z) ) $

其中：

  • $ F(a, b) $ 表示 "a 和 b 是朋友"。
  • $ x, y, z $ 是学校中的学生。

逻辑表达式解释：

  1. 对于任意的学生 $ x $，如果 $ x $ 是 $ y $ 的朋友，并且 $ x $ 也是 $ z $ 的朋友，并且 $ y z $，那么 $ y $ 和 $ z $ 不能是朋友，即 $ F(y, z) $。

    这意味着，如果有一个学生 $ x $ 同时和两个不同的学生 $ y $ 和 $ z $ 是朋友，那么 $ y $ 和 $ z $ 之间不能是朋友。

  2. 结论：有一个学生，其所有朋友之间都不是彼此的朋友。

简化理解：

  • 这个命题表示在某些条件下，存在一位学生，这个学生的朋友们彼此之间没有朋友关系。换句话说，任何两个与该学生是朋友的学生彼此并不是朋友。

命题逻辑的理解2：

命题表达式：

$ x ( (F(x) P(x)) y M(x, y) ) $

其中：

  • $ F(x) $：表示 "x 是女性"。
  • $ P(x) $：表示 "x 是父母"。
  • $ M(x, y) $：表示 "x 是 y 的母亲"。

逻辑含义：

  • 如果一个人是女性且是父母，那么她一定是某个人的母亲。

这表示：对于所有人 \(x\)，如果她是女性并且是父母，那么存在一个人 \(y\)，使得她是 \(y\) 的母亲。

简化理解：

  • 这个命题表达的是：每个女性父母都有一个孩子，并且她是该孩子的母亲。

命题逻辑中的否定

给定命题表达式：

$ w a f (P(w, f) Q(f, a)) $

我们要计算其否定，并展示推导过程。

1. 否定表达式：

首先对整个命题取否定：

$ w a f (P(w, f) Q(f, a)) $

2. 应用否定量词规则：

使用量词的否定规则：

  • $ x $ 变为 $ x $
  • $ x $ 变为 $ x $

得到：

$ w a f (P(w, f) Q(f, a)) $

3. 继续应用否定规则：

对 $ a $ 取否定，变为 $ a $，然后对 $ f $ 取否定，变为 $ f $，得到：

$ w a f (P(w, f) Q(f, a)) $

4. 使用德摩根定律：

应用德摩根定律 $ (P Q) P Q $：

$ w a f (P(w, f) Q(f, a)) $

总结：

因此，原始命题的否定是：

$ w a f (P(w, f) Q(f, a)) $

简化理解：

  • 这个命题表示：对于每个 \(w\)，存在一个 \(a\)，使得对于所有 \(f\)，\(P(w, f)\) 或 \(Q(f, a)\) 都不成立。

命题逻辑的逻辑3：

给定命题：

  • $ Q(x, y, z) $ 表示 "x + y = z"。

第一个命题：

$ x y z , Q(x, y, z) $

这表示：

  • 对于所有实数 $ x $ 和 $ y $，存在一个实数 $ z $ 使得 $ x + y = z $。

解释：

  • 这个命题是 正确的，因为对于任何两个实数 $ x $ 和 $ y $，我们总是能够找到一个实数 $ z $ 使得 $ x + y = z \(（实际上，\) z = x + y $ 就满足这个关系）。这是加法的基本性质。

第二个命题：

$ z x y , Q(x, y, z) $

这表示：

  • 存在一个实数 $ z $，使得对于所有实数 $ x $ 和 $ y $，都有 $ x + y = z $。

解释：

  • 这个命题是 错误的，因为没有一个固定的实数 $ z $ 能满足对于所有 $ x $ 和 $ y \(，\) x + y $ 始终等于 $ z $。对于不同的 $ x $ 和 $ y \(，\) x + y $ 的值会变化，无法找到一个固定的 $ z $ 满足所有的加法结果。

命题逻辑推理过程3：

问题描述：

  • 给定以下命题：
    1. 如果很冷，那么会下雪。（\(c \rightarrow s\)）
    2. 如果下雪，那么会发生事故。（\(s \rightarrow a\)）
    3. 没有事故。（\(\neg a\)）

推论：

  • 因此，得出结论：它不冷。（\(\neg c\)）

1. 命题表示：

我们可以将上述推理用命题逻辑表达为：

$ (c s s a a) c $

该命题表示：如果“很冷→下雪”，“下雪→事故”，并且“没有事故”，那么得出结论“它不冷”。

2. 证明该命题是重言式（Tautology）：

一个命题是重言式（Tautology），当它在所有情况下都为真。要证明该命题是重言式，我们可以使用真值表或逻辑推理来检验其有效性。

逻辑推理：

  • \(c \rightarrow s\) 表示如果它冷，那么下雪。
  • \(s \rightarrow a\) 表示如果下雪，那么会有事故。
  • \(\neg a\) 表示没有事故。

结合这些信息，如果没有事故（\(\neg a\)），根据 \(s \rightarrow a\)，可以得出结论：不下雪（\(\neg s\)）。

  • 接着，根据 \(c \rightarrow s\)，如果不下雪（\(\neg s\)），那么也不冷（\(\neg c\)）。

因此，如果没有事故（\(\neg a\)），就可以得出结论：它不冷（\(\neg c\)）。

3. 结论：

这个命题在所有情况下都成立，因此它是一个重言式（Tautology）。

证明1：

  • 整数 $ n $ 被称为奇数，当且仅当 $ n = 2k + 1 $，其中 $ k $ 是某个整数。
  • 整数 $ n $ 被称为偶数，当且仅当 $ n = 2k $，其中 $ k $ 是某个整数。

定理：

对于所有的整数 $ n $，如果 $ n $ 是奇数，那么 $ n^2 $ 是奇数。

证明：

  1. 假设 $ n $ 是奇数：根据定义，$ n = 2k + 1 $，其中 $ k $ 是某个整数。

  2. **计算 $ n^2 \(**：\) n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 $

  3. **重写 $ n^2 \(**：\) n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1 $

  4. 观察到 $ 2(2k^2 + 2k) $ 是一个偶数，因此 $ n^2 $ 的形式是 $ 2m + 1 $，其中 $ m = 2k^2 + 2k $ 是某个整数。

  5. 结论：由于 $ n^2 $ 具有形式 $ 2m + 1 $，因此 $ n^2 $ 是奇数。

$ $

证明2：

如果 $ 3n + 2 $ 是奇数，那么 $ n $ 是奇数。

证明（反证法）：

  1. 假设结论不成立：假设 $ 3n + 2 $ 是奇数，但 $ n $ 不是奇数，即 $ n $ 是偶数。

  2. 假设 $ n $ 是偶数：如果 $ n $ 是偶数，那么可以表示为 $ n = 2k $，其中 $ k $ 是某个整数。

  3. **计算 $ 3n + 2 \(**：\) 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 $

  4. 观察 $ 6k + 2 $ 的形式：我们可以把它写成 $ 2(3k + 1) $，这是一个偶数。

  5. 得出矛盾：根据假设，$ 3n + 2 $ 应该是奇数，但根据计算，我们得出 $ 3n + 2 $ 是偶数。这与假设矛盾。

  6. 结论：由于假设 $ n $ 是偶数导致矛盾，所以 $ n $ 必须是奇数。

$ $