Lec5 Relations(1)

我认为这一章是最难的，图论和树论那里都很简单，一开始的逻辑那里其实感觉比较多。

就把你放到最后解决好了，关系！😎

反射性 (Reflexive) 关系的定义与判定

1. 反射性定义

在集合 $ A $ 上，一个关系 $ R $ 被称为 反射性关系，当且仅当： $ (a, a) R a A。 $ 即，集合中的每个元素都与自身成对出现在关系中。

2. 示例分析

设集合 $ A = {1, 2, 3, 4} $，我们逐一分析给定的关系 $ R1, R2, R3 $ 是否具有反射性：

2.1 $ R1 $

$ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} $

分析：集合 $ A $ 中每个元素 $ a $ 的 $ (a, a) $ 是否都在 $ R1 $ 中：
- $ (1,1) R1 $, $ (2,2) R1 $, $ (4,4) R1 $
- 但 $ (3,3) R1 $，因此 $ R1 $ 不具备反射性。

2.2 $ R2 $

$ R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} $

分析：检查 $ (a, a) $ 是否都在 $ R2 $ 中：
- $ (1,1) R2 $，但 $ (2,2) R2, (3,3) R2, (4,4) R2 $。
- 因此 $ R2 $ 不具备反射性。

2.3 $ R3 $

$ R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} $

分析：检查 $ (a, a) $ 是否都在 $ R3 $ 中：
- $ (1,1) R3, (2,2) R3, (3,3) R3, (4,4) R3 $。
- 因此 $ R3 $ 具备反射性。

3. 另一组关系判定

关系定义：

$ R1 = {(a, b) a b} $
$ R2 = {(a, b) a > b} $
$ R3 = {(a, b) a = b a = -b} $
$ R4 = {(a, b) a = b} $
$ R5 = {(a, b) a = b + 1} $
$ R6 = {(a, b) a + b } $

分析：

$ R1 $：
- $ a a $ 对任意 $ a $ 都成立，因此 $ R1 $ 具备反射性。
$ R2 $：
- $ a > a $ 不可能成立，因此 $ R2 $ 不具备反射性。
$ R3 $：
- $ a = a $ 成立，且 $ a = -a $ 对部分 $ a = 0 $ 成立，因此 $ R3 $ 具备反射性。
$ R4 $：
- $ a = a $ 对任意 $ a $ 都成立，因此 $ R4 $ 具备反射性。
$ R5 $：
- $ a = b + 1 $ 不可能对 $ a = b $ 成立，因此 $ R5 $ 不具备反射性。
$ R6 $：
- $ a + a $ 并非对所有 $ a $ 成立（如 $ a = 2 $ 时 $ 4 > 3 $），因此 $ R6 $ 不具备反射性。

4. 总结

关系	是否反射性	理由
$ R1 $	是	$ a a $ 恒成立
$ R2 $	否	$ a > a $ 不成立
$ R3 $	是	$ a = a $ 或 $ a = -a $（当 $ a = 0 $）成立
$ R4 $	是	$ a = a $ 恒成立
$ R5 $	否	$ a = b + 1 $ 不成立
$ R6 $	否	$ a + a $ 不对所有 $ a $ 成立

反射性 (Reflexive) 与非反射性 (Irreflexive)对比

1. 反射性 (Reflexive)

定义：

对于一个集合 $ A $ 上的关系 $ R $，如果对于 $ A $ 中的每一个元素 $ a $，都有：$ a R a (a A, (a, a) R) $ 那么称 $ R $ 是 反射性关系。

举例：

大于等于 (≥)：
- $ {(a, b) a b} $ 是反射性的，因为 $ a a $ 对所有 $ a $ 成立。
整除 (divides)：
- $ {(a, b) a b} $ 是反射性的，因为 $ a a $ 对所有 $ a $ 成立。
等价关系 (=)：
- $ {(a, b) a = b} $ 是反射性的，因为 $ a = a $ 对所有 $ a $ 成立。

2. 非反射性 (Irreflexive)

定义：

对于一个集合 $ A $ 上的关系 $ R $，如果对于 $ A $ 中的每一个元素 $ a $，都有：$ (a R a) (a A, (a, a) R) $ 那么称 $ R $ 是 非反射性关系。

注意：

非反射性 (Irreflexive) ≠ 非反射的 (Not Reflexive)：
- 非反射的：表示 $ R $ 并不满足 $ a A, (a, a) R $ 的条件，但可能某些元素满足。
- 非反射性：表示 $ R $ 对所有元素 $ a $ 都不满足 $ a R a $。

举例：

小于 (<)：
- $ {(a, b) a < b} $ 是非反射性的，因为 $ a < a $ 永远不成立。
大于 (>)：
- $ {(a, b) a > b} $ 是非反射性的，因为 $ a > a $ 永远不成立。
真包含 ($ $)：
- $ {(A, B) A B} $ 是非反射性的，因为 $ A A $ 不成立。

3. 反射性与非反射性互补关系

定理：

如果关系 $ R $ 是非反射性的，那么其补关系 $ $ 是反射性的。

补关系定义：对于集合 $ A $ 上的关系 $ R $，其补关系 $ $ 定义为： $ = {(a, b) (a, b) R} $

例子：

小于 (<) 是非反射性的，其补关系大于等于 (≥) 是反射性的。
真包含 ($ $) 是非反射性的，其补关系包含 ($ $) 是反射性的。

证明：

如果 $ R $ 是非反射性的，则 $ (a, a) R $ 对所有 $ a A $ 成立。
因此 $ (a, a) $，即 $ $ 是反射性的。

4. 示例：反射性与非反射性关系

类型	示例关系
反射性关系	$ =, , , , $
非反射性关系	$ <, >, , $

5. 应用场景举例

数字上的关系：
- 反射性：等于 (=)，大于等于 (≥)，小于等于 (≤)。
- 非反射性：大于 (>)，小于 (<)。
集合上的关系：
- 反射性：包含 ($ $)。
- 非反射性：真包含 ($ $)。
逻辑关系：
- 反射性：逻辑等价 ($ $)。
- 非反射性：逻辑不等价 ($ $)。

对称性 (Symmetric)、反对称性 (Antisymmetric)、传递性 (Transitivity) 关系

1. 对称性 (Symmetric)

定义：

对于一个集合 $ A $ 上的关系 $ R $，如果对于所有 $ a, b A $，当 $ (a, b) R $ 时，必有 $ (b, a) R $，则称 $ R $ 是 对称性关系。 $ a, b A, (a, b) R (b, a) R $

举例：

等价关系 (=)：
- $ (a, b) R $ 意味着 $ a = b $，显然对称。
相反数关系：
- $ R = {(a, b) a = -b} $ 是对称的，因为如果 $ a = -b $，则 $ b = -a $。
R2 和 R3：
- $ R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} $，因为 $ (1,2) R2 (2,1) R2 $。
- $ R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} $，对称性同样成立。

非对称性示例：

小于关系 (<)：
- $ R = {(a, b) a < b} $ 不对称，因为 $ a < b $ 不意味着 $ b < a $。

2. 反对称性 (Antisymmetric)

定义：

对于一个集合 $ A $ 上的关系 $ R $，如果对于所有 $ a, b A $，当 $ (a, b) R $ 且 $ (b, a) R $ 时，必有 $ a = b $，则称 $ R $ 是 反对称性关系。 $ a, b A, (a, b) R (b, a) R a = b $

常见关系：

$ , , $ 都是反对称的。
- 如果 $ a b $ 且 $ b a $，则 $ a = b $。
- 如果 $ A B $ 且 $ B A $，则 $ A = B $。

举例：

R4：
- $ R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} $ 是反对称的，因为不存在 $ (a, b) R4 $ 且 $ (b, a) R4 $ 的情况。
整除关系 (divides)：
- $ R = {(a, b) a b} $ 是反对称的，因为如果 $ a b $ 且 $ b a $，则 $ a = b $。

3. 对称性与反对称性的关系

对称性和反对称性可以同时存在，例如 $ R = {(a, b) a = b} $，即等于关系 $ = $。
对称性和反对称性可以互斥，例如小于关系 $ < $ 是反对称但不是对称的。

4. 传递性 (Transitivity)

定义：

对于一个集合 $ A $ 上的关系 $ R $，如果对于所有 $ a, b, c A $，当 $ (a, b) R $ 且 $ (b, c) R $ 时，必有 $ (a, c) R $，则称 $ R $ 是 传递性关系。 $ a, b, c A, (a, b) R (b, c) R (a, c) R $

常见传递性关系：

小于关系 (<)：
- 如果 $ a < b $ 且 $ b < c $，则 $ a < c $。
包含关系 ($ $)：
- 如果 $ A B $ 且 $ B C $，则 $ A C $。

非传递性示例：

“朋友”关系：
- 如果 $ A $ 和 $ B $ 是朋友，且 $ B $ 和 $ C $ 是朋友，不能推断 $ A $ 和 $ C $ 是朋友。

5. 谓词逻辑表达

对称性：

$ a, b A, (a, b) R (b, a) R $

反对称性：

$ a, b A, (a, b) R (b, a) R a = b $

传递性：

$ a, b, c A, (a, b) R (b, c) R (a, c) R $

6. 示例比较

关系类型	示例关系	是否对称	是否反对称	是否传递
等于 $ = $	$ {(a, b) a = b} $	是	是	是
小于 $ < $	$ {(a, b) a < b} $	否	是	是
包含 $ $	$ {(A, B) A B} $	否	是	是
朋友关系	$ {(A, B) A B } $	是	否	否

关系的传递性（Transitivity）、非传递性（Nontransitivity）、非传递性严格形式（Intransitivity）

1. 传递性 (Transitivity)

定义：

一个关系 $ R $ 是 传递的，如果对于任意的 $ a, b, c $，当 $ (a, b) R $ 且 $ (b, c) R $ 时，必有 $ (a, c) R $：$ a, b, c, ((a, b) R (b, c) R) (a, c) R $

举例：

祖先关系 ("x is an ancestor of y")：
- 如果 $ A $ 是 $ B $ 的祖先，且 $ B $ 是 $ C $ 的祖先，则 $ A $ 必定是 $ C $ 的祖先，传递性成立。
强于关系 ("x is stronger than y")：
- 如果 $ A $ 比 $ B $ 强，且 $ B $ 比 $ C $ 强，则 $ A $ 必定比 $ C $ 强，传递性成立。

2. 非传递性 (Nontransitivity)

定义：

一个关系 $ R $ 是 非传递的，如果它不满足传递性。换句话说，对于 $ R $ 存在 $ a, b, c $，使得 $ (a, b) R $ 和 $ (b, c) R $，但 $ (a, c) R $。

举例：

喜欢关系 ("x likes y")：
- 如果 $ A $ 喜欢 $ B $，且 $ B $ 喜欢 $ C $，并不能推出 $ A $ 喜欢 $ C $，非传递性成立。
在1英里范围内 ("x is located within 1 mile of y")：
- 如果 $ A $ 在 $ B $ 1英里范围内，且 $ B $ 在 $ C $ 1英里范围内，并不能保证 $ A $ 在 $ C $ 1英里范围内，非传递性成立。

3. 严格非传递性 (Intransitivity)

定义：

一个关系 $ R $ 是 严格非传递的，如果对于任意的 $ a, b, c $，当 $ (a, b) R $ 且 $ (b, c) R $ 时，$ (a, c) R $：$ a, b, c, ((a, b) R (b, c) R) (a, c) R $

举例：

递增关系 ("x + 1 = y")：
- 如果 $ A + 1 = B $，且 $ B + 1 = C $，则 $ A + 1 C $，严格非传递性成立。

4. 示例分类与分析

关系	传递性	非传递性	严格非传递性
祖先关系 ("x is an ancestor of y")	是	否	否
喜欢关系 ("x likes y")	否	是	否
1英里范围 ("x is located within 1 mile of y")	否	是	否
递增关系 ("x + 1 = y")	否	否	是
比赛胜利 ("x beat y in the tournament")	否	是	否
强于关系 ("x is stronger than y")	是	否	否

5. 谓词逻辑表示

传递性： $ a, b, c, ((a, b) R (b, c) R) (a, c) R $
非传递性： $ a, b, c, ((a, b) R (b, c) R (a, c) R) $
严格非传递性： $ a, b, c, ((a, b) R (b, c) R) (a, c) R $

关系的复合（Composition of Relations）

1. 关系的复合定义

给定两个关系 $ R A B $ 和 $ S B C $，定义关系 $ S R $（读作“$ S $ 与 $ R $ 的复合”）为：

$ S R = { (a, c) b B, (a, b) R (b, c) S } $

2. 关系复合与函数复合的关系

关系复合是函数复合的推广。
如果 $ R $ 和 $ S $ 是函数（即对于任意输入有唯一输出），则关系复合 $ S R $ 退化为函数复合： $ S R(a, c) b, aRb bSc $ 可以表示为： $ c = S(R(a)) $

示例：

函数复合：
- 假设 $ R(a) = b $，$ S(b) = c $，则 $ S R(a) = c $。
- 等价于函数形式的逐步计算：先通过 $ R $ 找到中间值 $ b $，再用 $ S $ 计算最终结果 $ c $。
关系复合：
- 如果 $ R $ 和 $ S $ 并非函数，可能存在多个 $ b $ 满足条件，因此 $ (a, c) $ 可以对应多个值。

3. 关系复合的运算示例

输入关系：

**关系 $ R $：**$ R = { (1,1), (1,4), (2,3), (3,1), (3,4) } $
**关系 $ S $：**$ S = { (1,0), (2,0), (3,1), (3,2), (4,1) } $

计算复合关系 $ S R $：

根据定义： $ S R = { (a, c) b, (a, b) R (b, c) S } $

逐步分析：

$ (1,1) R $，且 $ (1,0) S $，因此 $ (1,0) S R $。
$ (1,4) R $，且 $ (4,1) S $，因此 $ (1,1) S R $。
$ (2,3) R $，且 $ (3,1) S $，因此 $ (2,1) S R $。
继续此过程，得到： $ S R = { (1,0), (1,1), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1) } $

4. 关系的幂运算

定义：

对于关系 $ R A A $，其幂 $ R^n $ 表示 $ R $ 自身与自身复合 $ n $ 次： $ R^n = R R R ( n ) $

示例：

**输入关系 $ R $：**$ R = { (1,1), (2,1), (3,2), (4,3) } $
**计算 $ R^2 $：**$ R^2 = R R = { (a, c) b, (a, b) R (b, c) R } $ 得到： $ R^2 = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,2) } $
**计算 $ R^3 $：**$ R^3 = R^2 R $ 结果为： $ R^3 = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,1) } $
计算 $ R^n $（$ n $）：
- 由于 $ R^3 = R^4 = R^n = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,1) } $，从 $ n $ 开始，结果稳定。

5. 总结与关键点

关系复合的核心：
- 通过中间集合 $ B $ 将集合 $ A $ 和 $ C $ 关联起来。
- 存在中间值 $ b $，满足 $ aRb $ 且 $ bSc $，则 $ (a, c) S R $。
关系复合的幂：
- 关系自身的复合可逐步迭代，最终可能收敛到一个稳定集合。
函数复合的特殊性：
- 函数是关系的特例，具有确定性和唯一性。
- 函数复合是关系复合的一个限制形式。