Lec5 Relations(2)

我认为这一章是最难的，图论和树论那里都很简单，一开始的逻辑那里其实感觉比较多。

就把你放到最后解决好了，关系！😎

n元关系 (n-ary Relation)

在集合 $ A_1, A_2, , A_n $ 上的一个 n元关系 $ R $ 是集合 $ A_1 A_2 A_n $ 的一个子集。换句话说，$ R $ 是这些集合的笛卡尔积的一个子集。

定义

  • 设 $ R A_1 A_2 A_n $，那么 $ R $ 就是一个 n元关系，其中：
    • $ A_1, A_2, , A_n $ 是关系 $ R $ 的 域。
    • $ R $ 的 度为 $ n $，即它是一个 n元关系。

功能性 (Functional Relation)

  • 如果关系 $ R $ 在某个域 $ A_i $ 上是 功能性的，则对于域 $ A_i $ 中的每个元素 $ a_i $，关系 $ R $ 中最多包含一个包含 $ a_i $ 的元组（n-元组）。

    更形式化地，$ R $ 在域 $ A_i $ 上是功能性的，当且仅当对于任意的元组 $ (a_1, a_2, , a_n) R $，其中 $ a_i $ 是 $ A_i $ 中的元素，$ R $ 中只会有一个元组包含 $ a_i $ 作为其中的第 $ i $ 个元素。

进一步推广：多个域上的功能性

  • 可以进一步推广到多个域上：如果关系 $ R $ 在多个域的组合上是功能性的，那么对于这些组合中的每个元素，关系 $ R $ 中也最多只包含一个元组，其中包含这些元素。

    例如，关系 $ R $ 在 $ A_i $ 和 $ A_j $ 上是功能性的，意味着对于 $ A_i $ 中的每个元素 $ a_i $ 和 $ A_j $ 中的每个元素 $ a_j $，关系 $ R $ 中最多只有一个元组 $ (a_1, a_2, , a_n) $，使得第 $ i $ 和第 $ j $ 个元素分别是 $ a_i $ 和 $ a_j $。

关系数据库 (Relational Databases)

关系数据库本质上就是一组关系（relations）。这些关系是数据库中的数据结构，它们通过表格的形式展现。

域（Domain）与主键（Primary Key）

  • 域 $ A_i $ 是数据库中的一个数据集。如果关系 $ R $ 在域 $ A_i $ 上是功能性的（functional），那么 $ A_i $ 就是数据库的主键。
  • 复合键（Composite Key） 是一组域的集合 $ {A_i, A_j, } $，它们满足以下条件：关系 $ R $ 中对于每个组合值 $ (a_i, a_j, ) A_i A_j $，最多只包含一个 n-元组 $ (, a_i, a_j, ) $。

选择操作（Selection Operator）

  • 设 $ A = A_1 A_2 A_n $ 是一个 n-元域，并且定义一个条件 $ C: A {T, F} $，该条件对 $ A $ 中的每个元素（n-元组）进行判断。

  • 选择操作 $ s_C $ 是一个操作符，它将任何 n-元关系 $ R $ 映射到一个新的关系，新的关系包含了所有满足条件 $ C $ 的 n-元组。具体来说，选择操作 $ s_C(R) $ 是：

    $ s_C(R) = { a R C(a) = T } $

    这意味着选择操作会从原关系 $ R $ 中选出那些满足条件 $ C $ 的元素（n-元组）。

示例：学生信息数据库

假设有一个学生信息数据库，其域定义为：

$ A = $

其中，Standing 表示学生的年级（例如：freshman, sophomore, junior, senior）。

定义条件

我们可以定义一个条件 UpperLevel，它用于筛选出大三和大四的学生。该条件可以表示为：

$ $

即，UpperLevel 条件判断学生是否是大三（junior）或大四（senior）。

选择操作应用

选择操作 $ s_{} $ 是根据 UpperLevel 条件对关系 $ R $ 进行筛选的操作。它会从学生数据库中选出所有年级为大三或大四的学生。例如，假设数据库 $ R $ 包含所有学生的年级信息，那么：

$ s_{}(R) = { } $

这样，通过选择操作，我们得到了一个只包含大三和大四学生的关系（数据库）。

投影操作符（Projection Operators）

定义：

假设 $ A = A_1 A_2 A_n $ 是一个 n-元域，并且 $ {i_k} = (i_1, i_2, , i_m) $ 是一个索引序列，其中 $ 1 i_k n $ 对于所有 $ 1 k m $。
那么，投影操作符在 n-元组上的定义为：
它将每个 n-元组映射到其按指定索引子集投影的结果。具体来说，投影操作从原始的 n-元组中选择指定的元素构成新的元组。

示例：三元域（Cars）

假设我们有一个三元域（3-元域）：

$ = $

这里，$ n = 3 $，即每个元组有三个元素：Model（车型）、Year（年份）、Color（颜色）。

投影操作：

考虑索引序列 $ {i_k} = 1, 3 $，即我们选择第 1 个和第 3 个元素（Model 和 Color）。在这种情况下，投影操作 $ P $ 将每个三元组 $ (a_1, a_2, a_3) = (, , ) $ 映射到其图像，即：

$ P(a_1, a_2, a_3) = (a_1, a_3) = (, ) $

投影操作的结果是，所有的汽车数据将仅包含车型和颜色，而不包括年份。

应用场景：

这个投影操作可以方便地应用于整个关系 $ R $（例如，存储汽车数据库的关系），从而获得所有可用的车型和颜色组合。例如，假设数据库 $ R $ 中存储了所有汽车的信息，通过投影操作 $ P $，我们可以得到一个只包含“车型”和“颜色”的列表。

连接操作（Join Operators）

定义：

投影操作还可以与连接操作结合使用，连接操作通常用于将两个关系结合起来形成一个复合关系。

假设 $ R_1 $ 和 $ R_2 $ 是两个关系：

  • $ R_1 $ 可能是一个讲师和课程之间的教学分配表。
  • $ R_2 $ 可能是一个与课程相关的教室、时间分配表。

连接操作 $ J(R_1, R_2) $ 可以用来将这两个表连接在一起，形成一个新的复合关系。假设 $ R_1 $ 中的元组是 $ (A, B) $ 和 $ R_2 $ 中的元组是 $ (B, C) $，那么它们的连接结果是一个新元组 $ (A, B, C) $，并且这个元组出现在连接结果 $ J(R_1, R_2) $ 中。

示例：课程安排表

  • $ R_1 $ 是一个讲师和课程的分配表：
    $ R_1 = { (, ), (, ) } $

  • $ R_2 $ 是一个课程与教室、时间的分配表：
    $ R_2 = { (, , ), (, , ) } $

那么，通过连接操作 $ J(R_1, R_2) $，我们可以得到一个包含讲师、课程、教室和时间的完整课堂安排表：

$ J(R_1, R_2) = { (, , , ), (, , , ) } $

这种连接操作就像是你的课程表，其中列出了每个讲师、课程、教室和时间。

SQL 示例

SQL（Structured Query Language，结构化查询语言）用于从关系数据库中查询、插入、更新和删除数据。以下是两个常见的 SQL 查询示例：

1. 查询特定目的地的航班出发时间：

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SELECT Departure_time 
FROM Flights
WHERE destination = 'Detroit';
  • 功能： 该 SQL 查询从 Flights 表中选取所有目的地为 'Detroit' 的航班的出发时间（Departure_time）。
  • 解释：
    • SELECT：选择你想要查询的字段（这里是 Departure_time）。
    • FROM：指定查询的数据来源表（这里是 Flights）。
    • WHERE：用来添加过滤条件，这里是筛选目的地为 'Detroit' 的记录。

2. 查询数学系教授的教学时间安排：

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SELECT professor, time 
FROM teaching_assignments, class_schedule
WHERE department = 'mathematics';
  • 功能： 该 SQL 查询从 teaching_assignments 和 class_schedule 表中获取数学系（department = 'mathematics'）的所有教授（professor）和对应的上课时间（time）。
  • 解释：
    • SELECT：选择你要查询的字段（这里是 professor 和 time）。
    • FROM：指定查询的表格，这里是连接了两个表（teaching_assignments 和 class_schedule）。
    • WHERE：过滤条件，这里是筛选出数学系的记录。

说明：

  • SELECT：用于指定需要查询的列或字段。
  • FROM：指定查询的数据源表。
  • WHERE：用于指定查询条件，过滤满足条件的记录。
  • 连接（JOIN）：在第二个查询中，虽然没有明确使用 JOIN 语句，但 SQL 默认会对多个表进行笛卡尔积的连接。更规范的写法是使用显式的 JOIN 来明确连接条件。例如：
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SELECT professor, time 
FROM teaching_assignments 
JOIN class_schedule ON teaching_assignments.course_id = class_schedule.course_id
WHERE department = 'mathematics';

在这种写法中，我们通过 JOIN 将两个表连接起来，并用 ON 指定连接条件，保证数据的准确性。

应用

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1. 检索籍贯为福建的学生的姓名、学号和选修的课程号

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SELECT 姓名, S.学号, 课程号 
FROM SC, S 
WHERE 籍贯 = '福建' AND S.学号 = SC.学号;

2. 检索选修了全部课程的学生的姓名和年龄

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SELECT 姓名, 年龄 
FROM S, C, SC 
WHERE C.课程号 = SC.课程号 AND S.学号 = SC.学号;