Lec5 Relations(3)

我认为这一章是最难的，图论和树论那里都很简单，一开始的逻辑那里其实感觉比较多。

就把你放到最后解决好了，关系！😎

这一小节描述的是怎么去代表关系，用矩阵或者有向图的方式，比较直接易懂。😺

关于 n-元关系的表示引言

之前我们知道的用来表示关系的方法。

使用 n-元组的列表：这是一种最直观的表示方法，即列出所有满足关系的 n-元组。例如，对于一个二元关系 \(R\)，我们可以列出所有满足条件的 \((a, b)\) 对；对于三元关系 \(R\)，我们列出所有满足条件的 \((a, b, c)\) 三元组，以此类推。
使用从 n-元域到 {T, F} 的函数：这种方法通过一个函数将每个 n-元元组映射到布尔值 \({T, F}\)，表示这个 n-元元组是否属于关系。对于一个三元关系 \(R\)，我们可以定义一个函数 \(f(a, b, c)\)，如果 \((a, b, c) ∈ R\)，则 \(f(a, b, c) = T\)，否则 \(f(a, b, c) = F\)。

这一小节会着重讲解的房。

使用零一矩阵：二元关系可以用一个零一矩阵来表示，其中矩阵的行和列分别对应关系中涉及的两个集合的元素，矩阵中的元素为 1 表示对应的元素对属于关系，为 0 表示不属于关系。比如，一个集合 \(A = {a, b, c}\)，关系 \(R\) 是 \(a\) 和 \(b\) 之间的关系，那么矩阵中对应的位置就标记为 1。
使用有向图：二元关系还可以通过有向图来表示。在有向图中，每个元素用一个节点表示，关系用从一个节点到另一个节点的有向边表示。比如，如果 \(a\) 和 \(b\) 之间有关系，那么在图中就有一条从 \(a\) 到 \(b\) 的有向边。

计算的方便性：不同的表示方法在处理某些计算时有不同的优劣。有些计算在矩阵表示下更容易进行，而有些问题使用图表示会更加直观和高效。例如，判断某些元素是否在关系中可以通过矩阵的简单查找来实现，而图表示更方便用于描述元素之间的路径或联系。
启发性：有时，某种表示方法本身就能够启发我们发现新的问题或解决方法。比如，图表示可以帮助我们直观地理解关系的传递性、对称性等性质，而矩阵表示可以帮助我们快速进行一些代数操作。

在离散数学中，二元关系 \(R: A × B\) 可以通过一个 \(|A| × |B|\) 的 0-1 矩阵来表示，其中 \(|A|\) 和 \(|B|\) 分别是集合 \(A\) 和 \(B\) 的元素个数。在该矩阵中，元素 \(mij\) 被定义为：

假设有一个二元关系 \(Likes\)，表示 "喜欢" 的关系，集合 \(Boys = {Joe, Fred, Mark}\) 和 \(Girls = {Susan, Mary, Sally}\)。如果：

那么该关系 \(Likes: Boys × Girls\) 可以通过以下 0-1 矩阵表示：

         Susan   Mary   Sally
Joe       1       1       0
Fred      0       1       0
Mark      0       0       1

当关系定义在同一集合 \(A\) 上，即 \(R: A × A\) 时，0-1 矩阵的行和列将列出集合 \(A\) 中的元素。常见的情况包括：

自反关系 (Reflexive)：
- 关系是自反的，当且仅当矩阵的对角线上的所有元素都是 1。即每个元素都与自己相关联。
非自反关系 (Irreflexive)：
- 关系是非自反的，当且仅当矩阵的对角线上的所有元素都是 0。即没有任何元素与自己相关联。
对称关系 (Symmetric)：
- 关系是对称的，当且仅当矩阵的对称位置上的元素相等。即 \(mij = mji\) 对所有 \(i, j\) 都成立，表示如果 \((ai, bj)\) 属于关系 \(R\)，则 \((bj, ai)\) 也属于 \(R\)。
反对称关系 (Asymmetric)：
- 关系是反对称的，当且仅当矩阵中的每个 \(1\) 都对应一个 \(0\) 在其对角线的对称位置上。即对于所有的 \(i\) 和 \(j\)，如果 \(mij = 1\)，那么 \(mji = 0\)，表示如果 \((ai, bj)\) 属于关系 \(R\)，则 \((bj, ai)\) 不属于 \(R\)。

一图胜千言，看图知一切。

有向图 (Digraph) 是由一组顶点（或节点）和一组有序对元素组成的边（或弧）所构成的。具体来说：

顶点集：\(V\) 表示图中的所有顶点（或节点）。
边集：\(E\) 表示图中所有的有序对，形式为 \((a, b)\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 都是图中的顶点，\((a, b)\) 称为有向边，其中 \(a\) 是初始顶点，\(b\) 是终止顶点。

有向图 \(G = (V_G, E_G)\) 中：

关系 \(R: A × B\) 可以用图来表示。我们可以构建一个图 \(G_R\)，其顶点集为 \(V_G = A ∪ B\)，边集 \(E_G = R\)，即边集为关系 \(R\) 中的所有元素。

通过观察图的结构，许多关系的性质可以直观地得出。

自反关系 (Reflexive)：
- 每个顶点都有一个自环（即从顶点到其自身的边）。如果关系是自反的，图中的每个顶点都会有一个从自己指向自己的箭头。
非自反关系 (Irreflexive)：
- 没有任何顶点指向自己。如果关系是非自反的，则图中不存在自环。
对称关系 (Symmetric)：
- 每条边都是双向的。即如果有一条边从顶点 \(a\) 到顶点 \(b\)（\((a, b)\)），则一定有一条从 \(b\) 到 \(a\) 的边（\((b, a)\)）。如果关系是对称的，图中所有边都是双向的。
反对称关系 (Asymmetric)：
- 没有边是双向的。即如果有一条边从顶点 \(a\) 到顶点 \(b\)，则不会有一条从 \(b\) 到 \(a\) 的边。如果关系是反对称的，图中不会出现任何双向边。

孤立元素：
- “关系中是否存在与其他元素无连接的元素？”这一性质是局部的，即每个元素是否存在没有连接到其他元素的情况。
环 (Cycles)：
- “关系中是否存在环？”这一性质涉及多个元素的组合，即一个元素能够通过一系列关系回到自身。例如，在图中，如果存在从某个节点出发，通过一系列有向边回到该节点，则该图中有环。
关系的复合：
- 关系的复合（如关系的 n 次幂）也可以通过图的组合来直观地理解。比如，\(R^2\) 表示关系 \(R\) 的两次复合，它可以通过图中的路径来表示，路径长度为 2。