Lec5 Relations(4)

我认为这一章是最难的，图论和树论那里都很简单，一开始的逻辑那里其实感觉比较多。

就把你放到最后解决好了，关系！😎

关系的闭包

主要任务是了解三种闭包，结合之前的三种性质。

闭包是指对于任何具有某一特定性质的集合，如何得到这个集合的最小超集，使得超集具有该性质。以下是不同类型关系闭包的定义和构造方法：

1. 自反闭包 (Reflexive Closure)

自反闭包是一个关系的最小超集，具有自反性质。自反性质要求每个元素与自身相关联。

构造方法：为了得到一个关系 R 在集合 A 上的自反闭包，我们需要将 (a, a) 对添加到 R 中，针对集合 A 中的每个元素 a，即： $ R_{} = R {(a, a) a A} $
例子：假设 Adore = {(a, b), (b, c), (c, c)}，Adore 的自反闭包是： $ Adore_{} = {(a, b), (b, c), (c, c), (a, a), (b, b)} $

2. 对称闭包 (Symmetric Closure)

对称闭包是一个关系的最小超集，具有对称性质。对称性质要求如果 (a, b) 属于关系 R，则 (b, a) 也必须属于关系 R。

构造方法：为了得到一个关系 R 的对称闭包，我们需要将每个 (a, b) 添加一个 (b, a)，即： $ R_{} = R R^{-1} $ 其中，R^{-1} 表示关系 R 的逆关系，即将所有的有序对 (a, b) 变为 (b, a)。
例子：假设 Detest = {(b, d), (c, a), (c, b)}，Detest 的对称闭包是： $ Detest_{} = {(b, d), (c, a), (c, b), (d, b), (a, c), (b, c)} $

3. 传递闭包 (Transitive Closure)

传递闭包是一个关系的最小超集，具有传递性质。传递性质要求如果 (a, b) 和 (b, c) 都在关系中，则 (a, c) 也必须在关系中。

构造方法：为了得到一个关系 R 的传递闭包，我们需要“重复地”将所有可以通过已有边连接的元素对添加到 R 中。具体来说，如果 (a, b) 和 (b, c) 都在关系中，我们就将 (a, c) 添加到关系中。可以通过反复添加这种关系，直到不能再添加任何新的对为止。
例子：假设 Adore = {(a, b), (b, c), (c, c)}，Adore 的传递闭包是： $ Adore_{} = {(a, b), (b, c), (c, c), (a, c)} $ 因为 (a, b) 和 (b, c) 存在，所以我们添加 (a, c)。

假设 Detest = {(b, d), (c, a), (c, b)}，Detest 的传递闭包是： $ Detest_{} = {(b, d), (c, a), (c, b), (c, d), (a, b)} $ 因为 (c, b) 和 (b, d) 存在，所以我们添加 (c, d)；又因为 (c, a) 和 (a, b) 存在，所以我们添加 (c, b)。

闭包的解决方案

两个例子，帮助大家理解闭包这个概念。9

1. 自反闭包（Reflexive Closure）

自反闭包是一个关系的最小超集，具有自反性质。对于任何给定的关系 $ R $ 和集合 $ A $，其自反闭包是通过将所有自反对 $ (a, a) $ 添加到原关系中得到的。

问题：
给定关系 $ R = { (a, b) | a < b } $ 在整数集 $ $ 上，求其自反闭包。

解决方案：
自反闭包的定义是：
$ R_{} = R $ 其中，$= { (a, a) | a } $ 表示所有自反对。
原关系是 $ { (a, b) | a < b } $，我们需要将所有自反对 $ (a, a) $ 加入到关系中。
因此，自反闭包是：
$ R_{} = { (a, b) | a b } $ 这个关系包含所有 $ a < b $ 和 $ a = b $ 的对。

2. 对称闭包（Symmetric Closure）

对称闭包是一个关系的最小超集，具有对称性质。对于任何给定的关系 $ R $，其对称闭包是通过将每个有序对的逆对添加到原关系中得到的。

问题：
给定关系 $ R = { (a, b) | a > b } $ 在正整数集 $ ^+ $ 上，求其对称闭包。

解决方案：
对称闭包的定义是：
$ R_{} = R R^{-1} $ 其中，$ R^{-1} $ 表示关系的逆关系，即将所有的有序对 $ (a, b) $ 替换为 $ (b, a) $。
原关系是 $ R = { (a, b) | a > b } $，其逆关系是 $ R^{-1} = { (b, a) | b > a } $。因此，对称闭包是：$ R_{} = { (a, b) | a > b } { (b, a) | b > a } $ 这个关系包含了所有 $ a b $ 的对，因为无论是 $ a > b $ 还是 $ b > a $，都在对称闭包中。所以，最终的对称闭包是：$ R_{} = { (a, b) | a b } $

连接关系 $ R^* $ 的定义

给定一个集合 $ A $ 上的关系 $ R $，我们可以定义关系 $ R^* $ 为连接关系，它由所有能够通过 $ R $ 的路径连接的有序对 $ (a, b) $ 组成。换句话说，关系 $ R^* $ 包括了所有存在至少一条从 $ a $ 到 $ b $ 的路径的有序对。

形式化定义 $ R^* $

定义：
连接关系 $ R^* $ 是关系 $ R $ 的闭包，包含所有通过有限次应用 $ R $ 可以从一个元素到达另一个元素的有序对。
具体来说，$ R^* $ 可以通过递归的方式定义如下：

基础情况：
$ R^0 = I = { (a, a) a A } $ 这是包含所有自反对的关系，也就是说，每个元素与自身有关系。
递归步骤：
$ R^k = R^{k-1} R k > 0 $ 其中，$ R^k $ 表示通过 $ k $ 次关系应用得到的有序对的集合。
连接关系：
连接关系 $ R^* $ 是 $ R $ 的闭包，可以表示为： $ R^* = _{k=0}^{n} R^k $ 其中 $ n $ 是集合 $ A $ 的大小。即 $ R^* $ 是从 0 次应用到 $ n $ 次应用的所有关系的并集。

解释

路径：如果从元素 $ a $ 到元素 $ b $ 存在一条路径（即通过一个或多个关系应用），则 $ (a, b) $ 会出现在连接关系 $ R^* $ 中。
自反性：因为每个元素都与自身有关系，所以 $ R^0 = I $ 包含了所有自反对。
递归步骤：通过应用关系 $ R $，我们不断扩展连接关系，直到所有通过路径可以到达的元素对都被包括在内。

关系 $ R^n $ 和 $ R^* $

1. 关系 $ R^n $

假设 $ R $ 是全世界所有人集合上的一个关系，包含有序对 $ (a, b) $，如果 $ a $ 曾经见过 $ b $。那么，关系 $ R^n $ 由所有这样的有序对 $ (a, b) $ 组成：存在一系列中间人 $ x_1, x_2, , x_{n-1} $，使得 $ a $ 见过 $ x_1 $，$ x_1 $ 见过 $ x_2 $，...，$ x_{n-1} $ 见过 $ b $。

定义：
关系 $ R^n $ 包含所有可以通过 $ n $ 次“见面”连接起来的有序对 $ (a, b) $。

举个例子：

当 $ n = 1 $，$ R^1 = R $，即 $ a $ 直接见过 $ b $。
当 $ n = 2 $，$ R^2 $ 包含那些 $ a $ 和 $ b $ 之间通过一个中间人相连的有序对。
当 $ n = 3 $，$ R^3 $ 包含那些通过两个中间人相连的有序对。

总之，$ R^n $ 代表了通过 $ n $ 次“见面”连接的所有有序对。

2. 关系 $ R^* $

关系 $ R^* $ 是 $ R $ 的传递闭包（transitive closure），它包含所有通过路径连接的有序对。也就是说，如果有一系列人 $ a x_1 x_2 x_{n-1} b $，则 $ (a, b) $ 属于 $ R^* $。

定义：
关系 $ R^* $ 包含所有能够通过至少一条路径（无论路径长短）从 $ a $ 到 $ b $ 连接的有序对 $ (a, b) $。

定理：
$ R^* $ 是关系 $ R $ 的传递闭包。具体来说，$ R^* $ 是 $ R $ 的最小传递超集。

3. $ R^* $ 的证明

证明 $ R^* $ 是传递的：

假设 $ x R^n y $ 且 $ y R^m z $，即存在路径从 $ x $ 到 $ y $，以及从 $ y $ 到 $ z $。根据传递性，我们知道 $ x $ 可以通过 $ R $ 连接到 $ z $，即 $ x R^{n+m} z $。因此，$ R^* $ 是传递的。
证明 $ R^* $ 是最小的传递超集：

假设存在一个传递超集 $ S $ 包含 $ R $，且 $ S $ 比 $ R^* $ 小。那么，存在一对 $ (x, y) $ 满足 $ x R^* y $ 但 $ x S $。但因为 $ R S $，则 $ x S^n y $，根据 $ S $ 的传递性，我们可以推断 $ x S y $，这与假设矛盾。因此，$ R^* $ 是最小的传递超集。

4. 小贴士

关系 $ R $ 在集合 $ A $ 上是传递的，当且仅当对于所有的 $ n $，关系 $ R^n R $，即 $ R $ 的 $ n $-次幂包含在 $ R $ 中。

引理：路径长度的上界

1. 引理内容

设 $ A $ 是一个具有 $ n $ 个元素的集合，$ R $ 是 $ A $ 上的一个关系。

如果在关系 $ R $ 中从 $ a $ 到 $ b $ 存在一条长度至少为 1 的路径，则从 $ a $ 到 $ b $ 存在一条长度不超过 $ n $ 的路径。此外，当 $ a b $ 时，如果存在从 $ a $ 到 $ b $ 的路径长度至少为 1，则存在一条路径，其长度不超过 $ n-1 $。

2. 证明

假设从 $ a $ 到 $ b $ 存在一条路径，设这条路径的最短长度为 $ m $。

设路径为 $ x_0, x_1, x_2, , x_m $，其中 $ x_0 = a $ 且 $ x_m = b $，那么路径的长度是 $ m $。

证明步骤：

假设 $ a = b $，且 $ m > n $，所以 $ m n+1 $。
根据抽屉原理，由于集合 $ A $ 中有 $ n $ 个顶点，路径中的 $ m $ 个顶点（$ x_0, x_1, , x_{m-1} $）中，至少有两个顶点是相同的。
假设 $ x_i = x_j $，其中 $ 0 i j m-1 $。
- 那么路径中从 $ x_i $ 到 $ x_i $ 之间存在一个回路（cycle）。
- 可以删除这个回路，剩下的路径从 $ a $ 到 $ b $ 的长度将变短，即路径的长度小于 $ m $。
这意味着，最短路径的长度必须小于等于 $ n $。

因此，从 $ a $ 到 $ b $ 的最短路径的长度不超过 $ n $。

3. 结论：传递闭包

根据引理 1，关系 $ R^* $ 可以表示为：

$ R^* = R^1 R^2 R^3 R^n $

也就是说，关系 $ R $ 的传递闭包 $ R^* $ 等于关系 $ R $ 的 $ 1 $-次幂、$ 2 $-次幂、$ 3 $-次幂，直到 $ n $-次幂的并集。

4. 总结

引理表明，从 $ a $ 到 $ b $ 的路径长度有上限，不超过 $ n $（当 $ a b $ 时，不超过 $ n-1 $）。
传递闭包 $ R^* $ 可以通过合并从 $ R $ 的不同幂次（即 $ R^1, R^2, , R^n $）得到。

传递闭包的零一矩阵

设 $ M(R) $ 是关系 $ R $ 在具有 $ n $ 个元素的集合上的零一矩阵。则关系 $ R^* $ 的传递闭包的零一矩阵 $ M(R^*) $ 可以表示为：

$ M(R^*) = M(R) M(R)^2 M(R)^3 M(R)^n $

1. 证明思路

这个公式的证明与引理 1 类似，通过不断求关系的幂来构造传递闭包。具体来说，零一矩阵 $ M(R)^i $ 表示关系 $ R $ 的第 $ i $ 次幂，而 $ $ 表示按位“或”运算（即元素的集合并集）。

2. 计算过程：传递闭包的计算过程

我们可以通过以下步骤计算关系 $ R $ 的传递闭包的零一矩阵 $ M(R^*) $：

初始化：设 $ A := M(R) $，即将 $ R $ 的零一矩阵赋给 $ A $。
循环更新：使用一个循环来计算每次幂次的零一矩阵，并将结果加入到集合中：
- 对于每次 $ i $ 从 2 到 $ n $，执行以下操作：
  1. 计算 $ A := A M(R) $，这里的 $ $ 是矩阵乘法。
  2. 更新 $ B := B A $，即将当前的结果加入到已有的矩阵中（按位“或”）。
结束：最终，矩阵 $ B $ 就是传递闭包 $ R^* $ 的零一矩阵。

3. 算法流程

以下是计算传递闭包的具体算法：

A := M(R)        // 初始化，A为R的零一矩阵
B := A           // 将A赋给B
for i := 2 to n  // 从2到n进行循环
begin
    A := A o M(R) // 计算A与M(R)的矩阵乘积
    B := B ∨ A    // 将A与B按位“或”合并
end              // 循环结束，B就是R*的零一矩阵

4. 解释

矩阵乘法（$ o $）：矩阵乘法计算两个矩阵的点积，表示关系的合成。
按位“或”运算（$ $）：对两个矩阵中相同位置的元素进行“或”操作，相当于将所有的路径信息合并起来。
最终，矩阵 $ B $ 包含了所有通过关系 $ R $ 达到的路径（包括直接路径和间接路径），即 $ R^* $ 的零一矩阵。

例子如下：

Warshall 算法：计算传递闭包 $ R^* $

Warshall 算法（也称为 Roy-Warshall 算法）是计算关系 $ R $ 的传递闭包 $ R^* $ 的一种快速算法。该算法基于零一矩阵的构造。通过逐步构造零一矩阵的序列来完成传递闭包的计算。

算法描述

设 $ M(R) $ 为关系 $ R $ 的零一矩阵，Warshall 算法通过一系列矩阵 $ W(0), W(1), , W(n) $ 来计算传递闭包。具体步骤如下：

初始化：
- $ W(0) = M(R) $，即初始化矩阵 $ W(0) $ 为关系 $ R $ 的零一矩阵。
递推定义：
- 对于 $ k = 1, 2, , n $，定义矩阵 $ W(k) $ 的元素 $ w_{ij}(k) $ 为： $ w_{ij}(k) = \[\begin{cases} 1, & \text{如果从 } v_i \text{ 到 } v_j \text{ 存在路径，且路径的内部顶点都属于 } \{ v_1, v_2, \dots, v_k \} \\ 0, & \text{否则} \end{cases}\] $
- 通过递推公式： $ w_{ij}(k) = w_{ij}(k-1) (w_{ik}(k-1) w_{kj}(k-1)) $ 其中 $ $ 表示按位“或”操作，$ $ 表示按位“与”操作。
结束：
- 最终，$ W(n) $ 即为关系 $ R^* $ 的零一矩阵 $ M(R^*) $。

算法步骤

初始化：
- $ W := M(R) $，将关系 $ R $ 的零一矩阵赋给矩阵 $ W $。
递推计算：
- 对于每个 $ k $ 从 1 到 $ n $：
  - 对于每个 $ i $ 从 1 到 $ n $：
    - 对于每个 $ j $ 从 1 到 $ n $：$ w_{ij}(k) = w_{ij}(k-1) (w_{ik}(k-1) w_{kj}(k-1)) $
输出：
- 最终矩阵 $ W $ 即为 $ M(R^) $，即关系 $ R^ $ 的零一矩阵。

算法流程

以下是 Warshall 算法的具体流程：

W := M(R)              // 初始化W为R的零一矩阵
for k := 1 to n        // 对每个k从1到n进行循环
begin
    for i := 1 to n    // 对每个i从1到n进行循环
    begin
        for j := 1 to n // 对每个j从1到n进行循环
        begin
            // 更新w_ij(k)为w_ij(k-1)与w_ik(k-1)和w_kj(k-1)按位与后的或操作结果
            w_ij(k) = w_ij(k-1) ∨ (w_ik(k-1) ∧ w_kj(k-1))
        end
    end
end                     // 循环结束，W即为M(R*)

解释

矩阵乘法：在这个算法中，$ w_{ij}(k) $ 的值依赖于矩阵 $ W(k-1) $ 的元素。具体地，矩阵的每一项更新是基于路径的传递关系，即如果存在从 $ v_i $ 到 $ v_j $ 的路径，并且该路径通过 $ v_k $，则更新 $ w_{ij}(k) $ 为 1。
按位操作：这里的按位“与”和“或”操作确保了所有可能的路径都被考虑到。