Lec5 Relations(5)

我认为这一章是最难的，图论和树论那里都很简单，一开始的逻辑那里其实感觉比较多。

就把你放到最后解决好了，关系！😎

这一节所讲解的是等价关系。

等价关系的定义

等价关系：在集合 $ A $ 上的一个二元关系 $ R $ 如果满足以下三个条件，则称其为等价关系：

自反性（Reflexive）：对于集合 $ A $ 中的任意元素 $ a $，都有 $ (a, a) \in R $。
对称性（Symmetric）：如果 $ (a, b) \in R $，则 $ (b, a) \in R $。
传递性（Transitive）：如果 $ (a, b) \in R $ 且 $ (b, c) \in R $，则 $ (a, c) \in R $。

示例：等式关系

例如，等式（$ = $）是一个等价关系。对于任意的 $ a, b \in A $，我们可以看到：
- 自反性： $ a = a $，对于所有的 $ a $。
- 对称性：如果 $ a = b $，则 $ b = a $。
- 传递性：如果 $ a = b $ 且 $ b = c $，则 $ a = c $。

其他等价关系示例

基于函数的等价关系：
- 对于任何函数 $ f: A \to B $，定义关系“具有相同的 $ f $ 值”，即 $ =_f $：
  $
  =_f = \{ (a_1, a_2) \mid f(a_1) = f(a_2) \}
  $
  例如：
  - 母亲关系：定义“具有相同的母亲”，即 $ =_m $ 为“有相同的母亲”关系。
  - 字符串长度相同：两个字符串 $ a $ 和 $ b $ 长度相同，即 $ a = b $ 当且仅当它们的长度相同。
  - 整数的绝对值相同：整数 $ a $ 和 $ b $ 绝对值相同，即 $ |a| = |b| $。
函数之间的关系：
- 考虑关系 $ R = \{ (f, g) \mid f(2) = g(2) \} $：
  - 该关系是一个等价关系：
    - 自反性：对于任意函数 $ f $，有 $ f(2) = f(2) $，因此自反。
    - 对称性：如果 $ f(2) = g(2) $，则 $ g(2) = f(2) $，因此对称。
    - 传递性：如果 $ f(2) = g(2) $ 且 $ g(2) = h(2) $，则 $ f(2) = h(2) $，因此传递。
- 但对于关系 $ R = \{ (f, g) \mid f(1) = g(1) \text{ 或 } f(2) = g(2) \} $：
  - 不是等价关系。原因在于该关系不满足传递性：
    - 例如，假设：
      - $ f(1) = a $, $ f(2) = b $
      - $ g(1) = a $, $ g(2) = c $
      - $ h(1) = b $, $ h(2) = c $
    - 这里 $ f(1) = g(1) $ 且 $ g(2) = h(2) $，但无法得出 $ f(2) = h(2) $，因此该关系不具备传递性。

证明模 $ m $ 同余关系

定义：给定一个正整数 $ m > 1 $，我们可以定义整数集合上的一个关系 $ R $ 为：

$
R = \{ (a, b) \mid a \equiv b \pmod{m} \}
$

这意味着，整数 $ a $ 和 $ b $ 在模 $ m $ 意义下是同余的，即 $ a - b $ 能被 $ m $ 整除。

要证明 $ R $ 是一个等价关系

要证明 $ R $ 是一个等价关系，我们需要验证它满足以下三个条件：自反性、对称性和传递性。

1. 自反性（Reflexive）

我们需要证明对于任意的整数 $ a $，有 $ (a, a) \in R $，即 $ a \equiv a \pmod{m} $。

因为 $ a - a = 0 $，而 0 总是能被 $ m $ 整除，因此 $ a \equiv a \pmod{m} $。
因此，关系 $ R $ 满足自反性。

2. 对称性（Symmetric）

我们需要证明如果 $ (a, b) \in R $，即 $ a \equiv b \pmod{m} $，那么 $ (b, a) \in R $，即 $ b \equiv a \pmod{m} $。

假设 $ a \equiv b \pmod{m} $，这意味着 $ a - b $ 是 $ m $ 的倍数，或者 $ a - b = km $ 对某些整数 $ k $ 成立。
由于 $ a - b = km $，我们也可以写成 $ b - a = -km $，显然 $ b - a $ 也是 $ m $ 的倍数，因此 $ b \equiv a \pmod{m} $。
因此，关系 $ R $ 满足对称性。

3. 传递性（Transitive）

我们需要证明如果 $ (a, b) \in R $ 且 $ (b, c) \in R $，即 $ a \equiv b \pmod{m} $ 且 $ b \equiv c \pmod{m} $，那么 $ (a, c) \in R $，即 $ a \equiv c \pmod{m} $。

假设 $ a \equiv b \pmod{m} $ 和 $ b \equiv c \pmod{m} $，这意味着 $ a - b = km $ 和 $ b - c = lm $ 对某些整数 $ k $ 和 $ l $ 成立。
将这两个等式相加，得到：
$
(a - b) + (b - c) = km + lm
$
即：
$
a - c = (k + l)m
$
这表明 $ a - c $ 是 $ m $ 的倍数，因此 $ a \equiv c \pmod{m} $。
因此，关系 $ R $ 满足传递性。

结论

由于关系 $ R = \{ (a, b) \mid a \equiv b \pmod{m} \} $ 满足自反性、对称性和传递性，它是一个等价关系。

等价关系的等价类

定义：设 $ R $ 是集合 $ A $ 上的一个等价关系。对于集合 $ A $ 中的任意元素 $ a $，所有与 $ a $ 相关联的元素构成一个集合，称为 $ a $ 的 等价类。这个等价类用符号 $ [a]_R $ 表示。

如果我们只考虑一个关系 $ R $，可以省略下标 $ R $，直接写作 $ [a] $，表示 $ a $ 的等价类。

公式：即若 $ R $ 是集合 $ A $ 上的一个等价关系，则元素 $ a $ 的等价类为：

$
[a]_R = \{ s \mid (a, s) \in R \}
$

即：所有与 $ a $ 相关联的元素构成的集合。

代表元素

如果 $ b \in [a]_R $，那么 $ b $ 称为这个等价类的一个 代表元素。在等价类中，任何元素都可以作为代表元素。

例如，若我们考虑整数集 $ \mathbb{Z} $ 上的等价关系“模 4 同余”，则 $ [0] = \{ …, -8, -4, 0, 4, 8, … \} $ 就是与 0 同余的所有整数的集合。

等价类的性质

为什么我们可以如此自由地讨论元素之间的等价关系呢？实际上，等价类是一种非常灵活的集合结构，其中的元素可以被互相替代而不会影响结果。具体来说，如果 $ aRb $，则：

$
\{ x \mid aRx \} = \{ x \mid bRx \}
$

这意味着，只要 $ a $ 与 $ b $ 相关联，元素 $ a $ 的等价类和元素 $ b $ 的等价类是相同的。下面是证明过程：

证明：

假设 $ aRb $ 且 $ bRx $。
- 根据 传递性，可以得出 $ aRx $。
- 因此， $ x $ 属于 $ \{ x \mid aRx \} $，也就是 $ x $ 属于 $ \{ x \mid bRx \} $，所以 $ \{ x \mid aRx \} = \{ x \mid bRx \} $。
假设 $ aRb $ 且 $ aRx $。
- 由 $ aRb $，可得 $ bRa $（根据对称性）。
- 然后， $ bRa $ 和 $ aRx $ 可以推导出 $ bRx $（根据传递性）。
- 所以， $ x $ 属于 $ \{ x \mid aRx \} $，也就是 $ x $ 属于 $ \{ x \mid bRx \} $，因此 $ \{ x \mid aRx \} = \{ x \mid bRx \} $。

因此，若 $ aRb $，则 $ \{ x \mid aRx \} = \{ x \mid bRx \} $。

对称性

同理，由于对称性，如果 $ aRb $，则：

$
\{ x \mid xRa \} = \{ x \mid xRb \}
$

等价类的含义

实际上，基于关系 $ R $ 构造的等价类，包含了所有在关系 $ R $ 下“互相相关”的元素。例如：

字符串的长度相同：若我们说字符串 $ a $ 和 $ b $ 的长度相同，那么 $ a $ 和 $ b $ 属于同一个等价类。假设 $ a $ 的长度为 3，那么 $ [a] $ 就是所有长度为 3 的字符串的集合。
整数具有相同的绝对值：如果我们说整数 $ a $ 和 $ b $ 具有相同的绝对值，那么它们属于同一个等价类。例如，$ [a] = \{ a, -a \} $ 表示整数 $ a $ 和 $ -a $ 属于同一个等价类。

集合的划分

定义：集合 $ A $ 的一个划分是集合 $ A $ 的若干个不相交的非空子集的集合，这些子集的并集是 $ A $。换句话说，划分将集合 $ A $ 分割成若干个互不重叠的部分，并且这些部分的并集就是原始集合 $ A $。

直观地讲，集合 $ A $ 的划分就是把 $ A $ 分成若干个独立的部分，使得没有剩余的元素。

划分的基本性质：

划分中的每个子集 $ A_i $ 都是 不相交的：对于所有的 $ x $ 和所有的 $ i $，如果 $ x \in A_i $ 且 $ x \in A_j $，那么必须有 $ A_i = A_j $。
划分的所有子集的并集是整个集合 $ A $：即 $ \bigcup_{i=1}^n A_i = A $。

划分与等价关系的关系

一个集合的划分可以视为某个等价关系在该集合上的所有等价类的集合。换句话说，集合的划分实际上对应了一个等价关系。

例子：

假设集合 $ A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $，其划分为 $ \{\{1, 2, 3\}, \{4\}, \{5, 6\}\} $。

如果我们定义一个等价关系 $ R $，使得 $ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (5, 6), (6, 5) $ 属于 $ R $，则这个等价关系 $ R $ 的等价类恰好是 $ \{ \{1, 2, 3\}, \{4\}, \{5, 6\} \} $。

例子：通过划分生成的等价关系

假设集合 $ S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $，并且它的划分为：

$ A_1 = \{1, 2, 3\} $
$ A_2 = \{4, 5\} $
$ A_3 = \{6\} $

根据定理 2，划分 $ \{A_1, A_2, A_3\} $ 产生一个等价关系 $ R $。为了列出这个等价关系 $ R $ 中的所有有序对，我们首先定义：

$ A_1 = \{1, 2, 3\} $：表示这些元素彼此等价，即 $ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) $ 都是 $ R $ 中的元素。
$ A_2 = \{4, 5\} $：表示 $ 4 $ 和 $ 5 $ 是等价的，即 $ (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5) $ 都是 $ R $ 中的元素。
$ A_3 = \{6\} $：表示 $ 6 $ 与自己等价，即 $ (6, 6) $ 是 $ R $ 中的元素。

因此，等价关系 $ R $ 中的所有有序对是：

$
R = \{ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (6, 6) \}
$

划分：集合 $ A $ 的划分是若干不相交的非空子集的集合，所有这些子集的并集构成 $ A $ 本身。
等价关系与划分的关系：一个等价关系可以通过它的等价类来定义集合的划分，反之，一个划分可以产生一个等价关系。
定理：
- 等价关系 $ R $ 的三个等价条件： $ aRb $，$ [a] = [b] $，以及 $ [a] \cap [b] \neq \emptyset $。
- 等价关系的等价类集合构成集合的划分。
例子：通过划分 $ A_1 = \{1, 2, 3\} $, $ A_2 = \{4, 5\} $, $ A_3 = \{6\} $ 生成的等价关系 $ R $ 中的所有有序对。

问题1：

证明：二元关系 $ R $ 是集合 $ S \times S $ 上的等价关系

问题描述

设 $ R $ 是定义在 $ S \times S $ 上的二元关系，满足：当且仅当 $ xy = uv $ 时，有 $ \langle x, y \rangle R \langle u, v \rangle $，我们需要证明 $ R $ 是等价关系。

等价关系的定义：
为了证明 $ R $ 是一个等价关系，我们需要证明 $ R $ 满足以下三个条件：

自反性：对于任意 $ \langle x, y \rangle \in S \times S $，有 $ \langle x, y \rangle R \langle x, y \rangle $。
对称性：对于任意 $ \langle x, y \rangle, \langle u, v \rangle \in S \times S $，如果 $ \langle x, y \rangle R \langle u, v \rangle $，则 $ \langle u, v \rangle R \langle x, y \rangle $。
传递性：对于任意 $ \langle x, y \rangle, \langle u, v \rangle, \langle p, q \rangle \in S \times S $，如果 $ \langle x, y \rangle R \langle u, v \rangle $ 且 $ \langle u, v \rangle R \langle p, q \rangle $，则 $ \langle x, y \rangle R \langle p, q \rangle $。

证明过程

(1) 自反性

要证明：对于任意 $ \langle x, y \rangle \in S \times S $，有 $ \langle x, y \rangle R \langle x, y \rangle $。

证明：
- 根据 $ R $ 的定义，当且仅当 $ xy = uv $ 时，有 $ \langle x, y \rangle R \langle u, v \rangle $。
- 由于对于任意 $ \langle x, y \rangle \in S \times S $，我们有 $ xy = xy $（显然成立）。
- 因此，根据定义，$ \langle x, y \rangle R \langle x, y \rangle $ 成立。
结论：$ R $ 是自反的。

(2) 对称性

要证明：对于任意 $ \langle x, y \rangle, \langle u, v \rangle \in S \times S $，如果 $ \langle x, y \rangle R \langle u, v \rangle $，则 $ \langle u, v \rangle R \langle x, y \rangle $。

证明：
- 假设 $ \langle x, y \rangle R \langle u, v \rangle $，根据 $ R $ 的定义，这意味着 $ xy = uv $。
- 由于等式 $ xy = uv $ 是对称的，即 $ uv = xy $，我们可以直接得出 $ \langle u, v \rangle R \langle x, y \rangle $。
结论：$ R $ 是对称的。

(3) 传递性

要证明：对于任意 $ \langle x, y \rangle, \langle u, v \rangle, \langle p, q \rangle \in S \times S $，如果 $ \langle x, y \rangle R \langle u, v \rangle $ 且 $ \langle u, v \rangle R \langle p, q \rangle $，则 $ \langle x, y \rangle R \langle p, q \rangle $。

证明：
- 假设 $ \langle x, y \rangle R \langle u, v \rangle $ 和 $ \langle u, v \rangle R \langle p, q \rangle $ 都成立。
- 根据定义，$ \langle x, y \rangle R \langle u, v \rangle $ 表示 $ xy = uv $，并且 $ \langle u, v \rangle R \langle p, q \rangle $ 表示 $ uv = pq $。
- 因此，由于 $ xy = uv $ 且 $ uv = pq $，可以得出 $ xy = pq $。
- 根据定义，这就意味着 $ \langle x, y \rangle R \langle p, q \rangle $ 成立。
结论：$ R $ 是传递的。