Lec5 Relations(6)

我认为这一章是最难的，图论和树论那里都很简单，一开始的逻辑那里其实感觉比较多。

就把你放到最后解决好了，关系！😎

这一节所讲解的是偏序关系。

这是关系的最后一小节了，记得上一次数据结构也大概是在这个时间来到最后一节的，很巧呢。

做完这个可以准备进入计算机组成原理了，留了周五和双休去应付计组。

计组：这是我应得的!!!

部分排序与全序

一个可能会比较陌生的概念就是良序，需要满足全序和拥有一个最小值这两个条件。

定义：部分排序（Partial Order）

一个集合 $ S $ 上的关系 $ R $ 被称为部分排序（partial ordering），如果它满足以下三个条件：

自反性（Reflexive）：对于所有的 $ a S $，都有 $ a a $。
反对称性（Antisymmetric）：如果 $ a b $ 且 $ b a $，则 $ a = b $。
传递性（Transitive）：如果 $ a b $ 且 $ b c $，则 $ a c $。

当一个集合 $ S $ 与一个部分排序关系 $ R $ 配对时，我们称其为部分有序集（poset），并表示为 $ (S, R) $。

部分排序的例子：

“大于或等于”（$ $）关系是整数集合 $ $ 上的一个部分排序。
“整除关系”（$ | $）是正整数集合 $ ^+ $ 上的部分排序。
“包含关系”（$ $）是集合的幂集上的部分排序。例如，集合 $ S $ 的幂集 $ P(S) $ 上，$ A B $ 表示集合 $ A $ 包含于集合 $ B $。

可比性与不可比性：

在一个部分有序集 $ (S, ) $ 中，两个元素 $ a $ 和 $ b $ 被称为可比的，如果满足：

$ a b $，或
$ b a $。

如果 $ a $ 和 $ b $ 既不满足 $ a b $，也不满足 $ b a $，则称 $ a $ 和 $ b $ 为不可比的。

例子：

在部分有序集 $ (^+, |) $ 中，整数 3 和 9 是可比的，因为 $ 3 | 9 $（3 整除 9）。
在 $ (^+, |) $ 中，整数 5 和 7 是不可比的，因为 5 不整除 7，也没有 7 整除 5。

全序与线性序：

如果一个部分有序集 $ (S, ) $ 中的每一对元素都是可比的，即对于任意 $ a, b S $，要么 $ a b $，要么 $ b a $，则称 $ (S, ) $ 是一个全序或线性序列，并称 $ $ 为全排序或线性排序。

全序集（Totally Ordered Set）：一个全序集又被称为链（chain）。
例子：$ (, ) $ 是一个全序集，因为对于任意的整数 $ a $ 和 $ b $，总有 $ a b $ 或 $ b a $。
例子：$ (^+, |) $ 不是全序集，因为有些整数对（例如 5 和 7）既不满足 $ a | b $，也不满足 $ b | a $，因此它不是全排序。

良序（Well-Ordering）

一个部分有序集 $ (S, ) $ 被称为良序（Well-Ordered Set），如果它满足以下条件：

$ $ 是总排序（全序）。
$ S $ 中的每个非空子集都有一个最小元素。

例子：$ (^+, ) $ 是一个良序集，因为它是一个全序集，并且每个非空子集（例如 $ { 3, 5, 7 } $）都有一个最小元素（例如 3）。

精华部分

部分排序：满足自反性、反对称性和传递性的二元关系。
全序（线性序）：在部分排序的基础上，每一对元素都是可比的。
良序：全序集，且每个非空子集有最小元素。
可比性与不可比性：可比的元素满足排序关系，不可比的元素无法比较。

中文	英文
部分排序	Partial Order
自反性	Reflexive
反对称性	Antisymmetric
传递性	Transitive
部分有序集	Poset (Partially Ordered Set)
全序	Total Order (Linear Order)
线性排序	Linear Order
可比性	Comparable
不可比性	Incomparable
良序	Well-Ordered Set
整除关系	Divisibility Relation
包含关系	Inclusion Relation
最小元素	Least Element
集合的幂集	Power Set
整数集合	Set of Integers
线性序列（链）	Chain
总排序（全序）	Total Ordering

字典序排列（Lexicographic Ordering）

字典序很简单，如果知道C++的pair就了解这种比较的原理了。

字典序是一种基于元素顺序的排列方式，特别适用于多元组或字母序列的排序。对于两个元组 $(a_1, a_2)$ 和 $(b_1, b_2)$，它们的字典序比较规则如下：

如果 $a_1 < b_1$，则 $(a_1, a_2) < (b_1, b_2)$
如果 $a_1 = b_1$，则比较 $a_2$ 和 $b_2$，如果 $a_2 < b_2$，则 $(a_1, a_2) < (b_1, b_2)$

例子：

$(3,5) < (4,8)$
$(3,8) < (4,5)$
$(4,9) < (4,11)$
$(1,2,3,5) < (1,2,4,3)$

字典序比较中的例子

"discreet" < "discrete"
"discreet" < "discreetness"

Hasse 图（Hasse Diagrams）

主要删除的是能够进行传递的边，我记得还会删除掉自环。

Hasse 图是表示部分排序关系的一种图形化方式，它展示了元素之间的大小关系，不显示具体的箭头，而是只保留有向边的结构。以下是创建 Hasse 图的步骤：

删除冗余边：如果 $(a,b)$ 和 $(b,c)$ 存在于部分排序中，那么应删除 $(a,c)$ 这一边。同理，如果 $(c,d)$ 也存在于部分排序中，应该删除 $(a,d)$。
排列边：每一条边的起点应该位于终点的下方，表示排序关系。
删除箭头：由于所有的边都指向“上方”，因此可以去掉有向边的箭头。

部分排序（Partial Ordering）例子

整除关系：对于集合 $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12\}$，其中的部分排序是基于整除关系。例如：
- $(1,4)$, $(1,6)$, $(1,8)$, $(1,12)$
- $(2,8)$, $(2,12)$
- $(3,12)$
集合包含关系：对于集合 $S = \{a, b, c\}$ 的幂集 $\mathcal{P}(S)$，部分排序关系是基于集合的包含关系 $\subseteq$，例如：
- $(\emptyset, \{a,b\})$, $(\emptyset, \{a,c\})$, $(\emptyset, \{b,c\})$, $(\emptyset, \{a,b,c\})$
- $(\{a\}, \{a,b,c\})$, $(\{b\}, \{a,b,c\})$, $(\{c\}, \{a,b,c\})$

关于偏序的一些常考概念

最大元素与最小元素 (Maximal and Minimal Elements)

在一个偏序集合（poset）$(S, \leq)$ 中：

最大元素（Maximal Element）：如果不存在元素 $b \in S$ 使得 $a < b$，则 $a$ 是最大元素。
最小元素（Minimal Element）：如果不存在元素 $b \in S$ 使得 $b < a$，则 $a$ 是最小元素。

在偏序图中，最大元素和最小元素通常位于图的“顶端”和“底端”。

示例 1：求偏序集合 $\{2, 4, 5, 10, 12, 20, 25\}$ 在整除关系 $(|)$ 下的最大元素和最小元素

最大元素：12, 20, 25 （因为这些元素没有任何元素能够整除它们）
最小元素：2, 5 （因为2和5能整除集合中的其他元素）

示例 2：求偏序集合 $(P(S), \subseteq)$ 中的最大元素和最小元素

对于集合 $S$ 的幂集 $P(S)$ 和包含关系 $\subseteq$，

最大元素：$S$ （因为任何集合都可以包含 $S$）
最小元素：$\emptyset$ （因为任何集合都可以包含空集）

示例 3：在偏序集合 $(\mathbb{Z}^+, |)$ 中是否存在最大元素和最小元素？

在正整数集 $\mathbb{Z}^+$ 上的整除关系 $(|)$ 中：

最大元素：不存在，因为没有任何正整数能够整除所有其他正整数。
最小元素：1 （因为1能够整除任何正整数）

上界与下界 (Upper and Lower Bounds)

假设 $A$ 是偏序集合 $(S, \leq)$ 中的一个子集：

上界（Upper Bound）：如果存在元素 $u \in S$，使得对所有 $a \in A$，都有 $a \leq u$，则 $u$ 是 $A$ 的上界。
下界（Lower Bound）：如果存在元素 $l \in S$，使得对所有 $a \in A$，都有 $l \leq a$，则 $l$ 是 $A$ 的下界。

最小上界与最大下界 (Least Upper Bound and Greatest Lower Bound)

最小上界 (Least Upper Bound, LUB)：
- 元素 $x$ 被称为子集 $A$ 的最小上界（也叫上确界），如果：
  - $x$ 是 $A$ 的上界，即对于所有 $a \in A$，都有 $a \leq x$；
  - 对于所有 $A$ 的上界 $z$，都有 $x \leq z$。
- 换句话说，最小上界是所有上界中的最小元素。
最大下界 (Greatest Lower Bound, GLB)：
- 元素 $y$ 被称为子集 $A$ 的最大下界（也叫下确界），如果：
  - $y$ 是 $A$ 的下界，即对于所有 $a \in A$，都有 $y \leq a$；
  - 对于所有 $A$ 的下界 $z$，都有 $z \leq y$。
- 换句话说，最大下界是所有下界中的最大元素。

示例：

最小上界（LUB）：在集合 $\{2, 4, 5\}$ 和整除关系（$|$）下，最小上界是 20，因为 20 是 2, 4 和 5 的上界，并且没有其他小于 20 的上界。
最大下界（GLB）：在集合 $\{2, 3, 5\}$ 和整除关系（$|$）下，最大下界是 1，因为 1 是 2, 3 和 5 的下界，并且没有其他大于 1 的下界。

精华所在：

最小上界是最小的能够大于或等于集合所有元素的元素。
最大下界是最大的能够小于或等于集合所有元素的元素。

Lattice（格）

刚刚开始看的时候有一个误区，以为是一个元素的。

要记住，上下界是要看一对元素的，如果有一对元素的上界出现了两个或两个以上的元素，那么它就不是格了。

格（Lattice）定义

格是一个偏序集（poset），在其中每一对元素都具有最小上界（Least Upper Bound，LUB）和最大下界（Greatest Lower Bound，GLB）。
换句话说，格是一个满足每对元素都有最小上界和最大下界的偏序集。

例子：

Poset ${ \mathbb{Z}^+ }, |$ 是一个格：
在正整数集合中，整数的整除关系是一个格，因为对于任意两个正整数 $a$ 和 $b$，都有最小上界和最大下界。
Poset $\{ 1, 2, 3, 4, 5 \}, |$ 不是格：
这个集合的整除关系不是格，因为某些元素对（例如 3 和 5）没有最小上界。
Poset $\{ 1, 2, 4, 8, 16 \}, |$ 是一个格：
这个集合的整除关系是一个格，因为对于每一对元素，都可以找到最小上界和最大下界。
Poset $P(S), \subseteq$ 是格，其中 $S$ 是一个集合：
在集合 $S$ 的幂集上，包含关系 $\subseteq$ 构成一个格，因为每对集合都有最小上界和最大下界。

不成立为格的情况：

如果在偏序集中某些元素对没有最小上界或最大下界，那么这个偏序集不是格。
例如，假设在一个偏序集中的元素 $b$ 和 $c$ 没有最小上界，那么这个偏序集就不是格。

格的性质总结：

在格中，对于每一对元素 $a$ 和 $b$，都存在最小上界 $a \vee b$ 和最大下界 $a \wedge b$。
在格中，所有元素的组合（通过最小上界和最大下界）确保了其满足完全的结构特性。

拓扑排序与兼容的全序

兼容的全序

兼容的全序（Compatible Total Ordering）：如果一个全序 $ $ 满足对于偏序集中的任意元素 $ a $ 和 $ b $，只要 $ a $ 和 $ b $ 满足偏序关系 $ a , R , b $，则 $ a b $，那么这个全序就叫做兼容的全序。

拓扑排序（Topological Sorting）

拓扑排序是从偏序关系中构造兼容全序的过程，通常用于对有向无环图（DAG）中的元素进行排序。通过拓扑排序，可以根据部分顺序关系将元素进行排列，使得所有的依赖关系得到满足。

定理：

每一个有限的非空偏序集 $ (S, ) $ 都有一个最小元素。
这意味着，在每一个有限的偏序集中，必定存在至少一个元素，它不大于任何其他元素。

拓扑排序算法（Procedure topological sort）

输入：一个有限偏序集 $S$。
输出：一个符合 $S$ 中部分顺序关系的兼容全序（即拓扑排序）。

算法步骤：

k := 1
while S ≠ Ø
begin
    ak := S 中的一个最小元素 {根据定理1}
    S := S - {ak}  // 从集合 S 中移除最小元素 ak
    k := k + 1
end
{a1, a2, ..., an 就是符合 S 的兼容全序排列}

解释：

该算法通过不断从偏序集中取出一个最小元素，并将其从集合中删除，最终得到一个符合偏序关系的全序排列。
每次选出的最小元素 $ a_k $ 都是当前集合中的最小元素，它是唯一不大于其他元素的元素。通过这种方式逐步构造出一个兼容的全序。

结论：

每个有限的非空偏序集都可以通过拓扑排序算法进行排序，得到一个兼容的全序。

应用题

问题描述： 设 $ P $ 为正整数集 $ ^+ $ 关于整除关系的子集，求集合 $ P $ 中某个元素 $ T $ 的上界、下界、上确界和下确界。

解答过程：

整除关系的偏序集：
在正整数集 $ ^+ $ 上，定义“整除关系”作为偏序关系：对于任意 $ a, b ^+ $，如果 $ a $ 能整除 $ b $（即 $ a b $），则我们说 $ a b $。
上界（Upper Bound）：
对于集合 $ P $ 中的元素 $ T $，若 $ T $ 的上界是集合 $ P $ 中的某个元素 $ x $，则对于集合 $ P $ 中的每个元素 $ y $，有 $ y x $。
- 对于 $ T = { 2, 3, 5 } $，其上界可以是 60、120、180、240 等等，这些都是能被 $ 2, 3, 5 $ 整除的数。
上确界（Least Upper Bound, LUB）：
上确界是所有上界中最小的元素，即最小的满足 $ T x $ 的 $ x $。 - 在本例中，$ T = { 2, 3, 5 } $ 的上确界是 60，因为 60 是所有上界中的最小值，且 60 能被 2、3 和 5 整除。
下界（Lower Bound）：
对于集合 $ P $ 中的元素 $ T $，若 $ T $ 的下界是集合 $ P $ 中的某个元素 $ y $，则对于集合 $ P $ 中的每个元素 $ x $，有 $ y x $。
- 对于 $ T = { 2, 3, 5 } $，其下界为 1，因为 1 能整除 $ T $ 中的所有元素。
下确界（Greatest Lower Bound, GLB）：
下确界是所有下界中最大的元素，即最大的满足 $ y T $ 的 $ y $。 - 在本例中，$ T = { 2, 3, 5 } $ 的下确界是 1，因为 1 是所有下界中的最大值，且 1 能整除集合 $ T $ 中的所有元素。